Номер 2, страница 102 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 3. Параграф 1.22. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 2, страница 102.

Условие.

2. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один из них с начальной скоростью $18 \text{ км/ч}$ поднимается в гору равнозамедленно с постоянным ускорением, модуль которого $20 \text{ см/с}^2$. Другой велосипедист с начальной скоростью $5,4 \text{ км/ч}$ спускается с горы с таким же по модулю ускорением. Через какое время они встретятся? На каком расстоянии от подножия горы произойдёт встреча и какой путь пройдёт каждый из них к этому моменту? Расстояние между велосипедистами в начальный момент времени было $195 \text{ м}$.

Решение.

Дано:

$v_{01} = 18$ км/ч

$v_{02} = 5,4$ км/ч

$a = 20$ см/с²

$S = 195$ м

Переведем все величины в систему СИ (метры, секунды):
$v_{01} = 18 \frac{км}{ч} = 18 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = 5$ м/с
$v_{02} = 5,4 \frac{км}{ч} = 5,4 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = 1,5$ м/с
$a = 20 \frac{см}{с^2} = 20 \cdot \frac{1 \, м}{100 \, см \cdot с^2} = 0,2$ м/с²
$S = 195$ м

Найти:

1. Время до встречи $t$.
2. Расстояние от подножия горы до места встречи $x_{встр}$.
3. Путь, пройденный каждым велосипедистом, $s_1$ и $s_2$.

Решение:

Выберем систему отсчета. Пусть ось OX направлена вверх по горе. Начало координат ($x=0$) будет находиться у подножия горы, в начальной точке движения первого велосипедиста. Тогда начальная координата первого велосипедиста $x_{01} = 0$, а второго $x_{02} = S = 195$ м.

Первый велосипедист поднимается в гору, то есть движется в положительном направлении оси OX. Его движение равнозамедленное, значит, вектор ускорения направлен против вектора скорости, т.е. против оси OX.Уравнение движения для первого велосипедиста:$x_1(t) = x_{01} + v_{01}t + \frac{a_{1x}t^2}{2} = 0 + v_{01}t - \frac{at^2}{2}$

Второй велосипедист спускается с горы, то есть движется навстречу первому, в отрицательном направлении оси OX. Его скорость и ускорение направлены в одну сторону (он ускоряется), поэтому проекции скорости и ускорения на ось OX будут отрицательными.Уравнение движения для второго велосипедиста:$x_2(t) = x_{02} + v_{02x}t + \frac{a_{2x}t^2}{2} = S - v_{02}t - \frac{at^2}{2}$

В момент встречи их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$.$v_{01}t - \frac{at^2}{2} = S - v_{02}t - \frac{at^2}{2}$

Сократим одинаковые члены с ускорением в обеих частях уравнения:$v_{01}t = S - v_{02}t$

Теперь найдем время $t$:$v_{01}t + v_{02}t = S$$t(v_{01} + v_{02}) = S$$t = \frac{S}{v_{01} + v_{02}}$

Через какое время они встретятся?

Подставим числовые значения в формулу для времени:$t = \frac{195 \, м}{5 \, м/с + 1,5 \, м/с} = \frac{195}{6,5} = 30$ с
Ответ: Велосипедисты встретятся через 30 секунд.

На каком расстоянии от подножия горы произойдёт встреча и какой путь пройдёт каждый из них к этому моменту?

Чтобы найти расстояние от подножия горы, подставим найденное время $t=30$ с в уравнение движения первого велосипедиста:$x_{встр} = x_1(30) = v_{01}t - \frac{at^2}{2} = 5 \cdot 30 - \frac{0,2 \cdot (30)^2}{2} = 150 - \frac{0,2 \cdot 900}{2} = 150 - \frac{180}{2} = 150 - 90 = 60$ м

Поскольку первый велосипедист начал движение от подножия горы ($x_{01}=0$) и двигался в одном направлении, пройденный им путь $s_1$ равен его координате в момент встречи:$s_1 = x_{встр} = 60$ м

Путь, пройденный вторым велосипедистом, можно найти, зная, что в сумме они прошли все начальное расстояние $S$:$s_2 = S - s_1 = 195 - 60 = 135$ м

Проверим это, подставив время в формулу для пути второго велосипедиста (поскольку он движется равноускоренно, его путь $s_2 = v_{02}t + \frac{at^2}{2}$):$s_2 = 1,5 \cdot 30 + \frac{0,2 \cdot (30)^2}{2} = 45 + \frac{0,2 \cdot 900}{2} = 45 + 90 = 135$ мРезультаты совпали.
Ответ: Встреча произойдет на расстоянии 60 м от подножия горы. Первый велосипедист к этому моменту проедет 60 м, а второй — 135 м.