Номер 3, страница 94 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 1.20. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 3, страница 94.

Условие.

3. Докажите самостоятельно, что при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки времени, пропорциональны последовательным нечётным числам:

$s_1 : s_2 : s_3 : \dots = 1 : 3 : 5 : \dots$

Впервые это было доказано Галилеем.

Решение.

Дано:

Равноускоренное прямолинейное движение

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускорение: $a = \text{const}$

Равные последовательные промежутки времени: $\Delta t$

Найти:

Доказать, что отношение путей $s_1, s_2, s_3, \dots$, проходимых за эти промежутки, равно $s_1:s_2:s_3:\dots = 1:3:5:\dots$

Решение:

Запишем формулу для пути, пройденного телом при равноускоренном прямолинейном движении, за время $t$:

$S(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Поскольку по условию начальная скорость $v_0 = 0$, формула упрощается:

$S(t) = \frac{at^2}{2}$

Эта формула описывает общий путь, пройденный от момента времени $t=0$ до момента времени $t$.

Разобьем движение на равные последовательные промежутки времени длительностью $\Delta t$.

Путь $s_1$, пройденный за первый промежуток времени (от $t=0$ до $t=\Delta t$), равен:

$s_1 = S(\Delta t) - S(0) = \frac{a(\Delta t)^2}{2} - 0 = \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Путь $s_2$, пройденный за второй промежуток времени (от $t=\Delta t$ до $t=2\Delta t$), равен разности путей, пройденных за $2\Delta t$ и за $\Delta t$:

$s_2 = S(2\Delta t) - S(\Delta t) = \frac{a(2\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = \frac{4a(\Delta t)^2}{2} - \frac{a(\Delta t)^2}{2} = 3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Путь $s_3$, пройденный за третий промежуток времени (от $t=2\Delta t$ до $t=3\Delta t$), равен:

$s_3 = S(3\Delta t) - S(2\Delta t) = \frac{a(3\Delta t)^2}{2} - \frac{a(2\Delta t)^2}{2} = \frac{9a(\Delta t)^2}{2} - \frac{4a(\Delta t)^2}{2} = 5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Обобщим для n-го промежутка времени (от $t=(n-1)\Delta t$ до $t=n\Delta t$). Путь $s_n$ будет равен:

$s_n = S(n\Delta t) - S((n-1)\Delta t) = \frac{a(n\Delta t)^2}{2} - \frac{a((n-1)\Delta t)^2}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$s_n = \frac{a(\Delta t)^2}{2} (n^2 - (n-1)^2)$

Раскроем скобки в выражении $n^2 - (n-1)^2$, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$:

$n^2 - (n-1)^2 = (n - (n-1))(n + (n-1)) = (1)(2n - 1) = 2n - 1$

Таким образом, путь за n-й промежуток времени равен:

$s_n = (2n-1) \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}$

Теперь найдем отношение путей $s_1:s_2:s_3:\dots$

$s_1 : s_2 : s_3 : \dots = \left(1 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \left(3 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \left(5 \cdot \frac{a(\Delta t)^2}{2}\right) : \dots$

Сократив общий множитель $\frac{a(\Delta t)^2}{2}$, получаем:

$s_1:s_2:s_3:\dots = 1:3:5:\dots$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки времени, пропорциональны последовательным нечётным числам ($1:3:5:\dots$), доказано.