Номер 10, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 4. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 10, страница 118.

Условие.

10. С высоты $\text{H}$ на наклонную плоскость, образующую угол $\alpha$ с горизонтом, свободно падает мяч и упруго отражается¹ с той же по модулю скоростью. Найдите расстояние от места первого соударения до второго; затем от второго до третьего и т. д. Определите расстояние между первым и вторым соударениями для случая, когда $\alpha = 45^\circ$ и $H = 0,5$ м.

Решение.

Дано:

Высота падения: $H$

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $g$

Соударения абсолютно упругие.

Для частного случая:

$H = 0,5$ м

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

$L_n$ - расстояние между n-м и (n+1)-м соударениями.

$L_1$ - расстояние между первым и вторым соударениями для частного случая.

Решение:

Сначала найдем скорость мяча $v_0$ непосредственно перед первым ударом о наклонную плоскость. Из закона сохранения энергии для свободного падения с высоты $H$ имеем:

$m g H = \frac{m v_0^2}{2} \implies v_0 = \sqrt{2gH}$

Вектор скорости $\vec{v_0}$ в этот момент направлен вертикально вниз.

Для анализа движения после отскока введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью: ось $Ox$ направим вдоль плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости вверх. В этой системе проекции ускорения свободного падения $\vec{g}$ равны:

$g_x = g \sin\alpha$

$g_y = -g \cos\alpha$

Разложим скорость $v_0$ на компоненты. Угол между вертикальным вектором $\vec{v_0}$ и осью $Oy$ (нормалью к плоскости) равен $\alpha$. Компоненты скорости непосредственно перед первым ударом:

$v_{0x, \text{до}} = v_0 \sin\alpha$

$v_{0y, \text{до}} = -v_0 \cos\alpha$

По условию, удар абсолютно упругий. Это означает, что компонента скорости, параллельная плоскости ($v_x$), не изменяется, а перпендикулярная ($v_y$) — меняет свой знак на противоположный, сохраняя модуль. Таким образом, компоненты скорости сразу после первого отскока:

$v_{0x, \text{после}} = v_0 \sin\alpha$

$v_{0y, \text{после}} = v_0 \cos\alpha$

Движение мяча между соударениями представляет собой движение тела, брошенного под углом к поверхности, в поле тяжести с ускорением $\vec{g}$. Время полёта $T$ между двумя последовательными ударами определяется движением по оси $Oy$. Мяч взлетает с плоскости ($y=0$) и приземляется на нее ($y(T)=0$). Уравнение для координаты $y(t)$:

$y(t) = v_{0y, \text{после}} t + \frac{g_y t^2}{2} = (v_0 \cos\alpha) t - \frac{g \cos\alpha}{2} t^2$

Приравнивая $y(T)$ к нулю (для $T > 0$), находим время полёта:

$(v_0 \cos\alpha) T - \frac{g \cos\alpha}{2} T^2 = 0 \implies T = \frac{2v_0 \cos\alpha}{g \cos\alpha} = \frac{2v_0}{g} = 2\sqrt{\frac{2H}{g}}$

Важно заметить, что перпендикулярная составляющая скорости перед каждым последующим ударом будет $-v_0 \cos\alpha$, а после упругого отскока — снова $v_0 \cos\alpha$. Следовательно, время полёта $T$ между любыми двумя последовательными соударениями будет постоянным.

Теперь рассмотрим движение вдоль оси $Ox$. Скорость вдоль этой оси постоянно увеличивается за счет компоненты ускорения $g_x$. Скорость вдоль оси $Ox$ сразу после $n$-го удара, $v_{(n-1)x, \text{после}}$, и скорость сразу после $(n+1)$-го удара, $v_{nx, \text{после}}$, связаны соотношением:

$v_{nx, \text{после}} = v_{(n-1)x, \text{после}} + g_x T$

Таким образом, скорости вдоль оси $Ox$ после каждого удара образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии (скорость после первого удара) равен $v_{0x, \text{после}} = v_0 \sin\alpha$. Разность прогрессии равна $d = g_x T = g \sin\alpha \cdot \frac{2v_0}{g} = 2v_0 \sin\alpha$.

Скорость вдоль оси $Ox$ в начале $n$-го отрезка полёта (т.е. сразу после $(n-1)$-го удара) равна:

$v_{(n-1)x, \text{после}} = v_{0x, \text{после}} + (n-1)d = v_0 \sin\alpha + (n-1)2v_0 \sin\alpha = (2n-1)v_0 \sin\alpha$

Расстояние $L_n$, которое мяч пролетает вдоль наклонной плоскости между $n$-м и $(n+1)$-м соударениями, находим по формуле для равноускоренного движения:

$L_n = v_{(n-1)x, \text{после}} T + \frac{g_x T^2}{2} = ((2n-1)v_0 \sin\alpha) T + \frac{(g \sin\alpha) T^2}{2}$

$L_n = \left( (2n-1)v_0 + \frac{gT}{2} \right) T \sin\alpha$

Используя соотношение $T = 2v_0/g$, получаем $gT/2 = v_0$. Подставим это в выражение для $L_n$:

$L_n = \left( (2n-1)v_0 + v_0 \right) T \sin\alpha = (2n) v_0 T \sin\alpha$

Произведение $v_0 T = \sqrt{2gH} \cdot 2\sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{4H^2} = 4H$.

Окончательно получаем общую формулу для расстояния:

$L_n = 2n (4H) \sin\alpha = 8nH \sin\alpha$

Таким образом, расстояние от места первого соударения до второго ($n=1$) равно $L_1 = 8H \sin\alpha$. Расстояние от второго до третьего ($n=2$) равно $L_2 = 16H \sin\alpha$, и так далее.

Ответ: Расстояние между n-м и (n+1)-м соударениями определяется формулой $L_n = 8nH \sin\alpha$. Соответственно, расстояние от первого соударения до второго равно $8H \sin\alpha$, от второго до третьего — $16H \sin\alpha$, от третьего до четвертого — $24H \sin\alpha$, и так далее.

---

Теперь определим расстояние между первым и вторым соударениями для частного случая, когда $\alpha = 45^\circ$ и $H = 0,5$ м. Для этого воспользуемся полученной формулой для $L_1$:

$L_1 = 8H \sin\alpha$

Подставим заданные значения:

$L_1 = 8 \cdot 0,5 \cdot \sin 45^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ м.

Приближенное значение: $L_1 \approx 2 \cdot 1,414 = 2,828$ м.

Ответ: Расстояние между первым и вторым соударениями для случая, когда $\alpha = 45^\circ$ и $H = 0,5$ м, равно $2\sqrt{2}$ м (приблизительно 2,83 м).