Номер 6, страница 117 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 6, страница 117.

Условие.

6. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковыми скоростями $\vec{v_0}$ из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным $\tau$ $(0 < \tau < \frac{2v_0}{g})$. Через какое время после бросания первого тела они встретятся?

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого тела: $v_0$
Начальная скорость второго тела: $v_0$
Интервал времени между бросками: $\tau$
Ускорение свободного падения: $g$

Все данные представлены в буквенном виде, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Время встречи тел после бросания первого тела: $t - ?$

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Начало координат ($y=0$) расположим в точке бросания, а ось OY направим вертикально вверх. В этом случае движение тел будет равнозамедленным с ускорением $a = -g$.

Запишем уравнение движения для первого тела. Оно брошено в момент времени $t_0 = 0$. Его координата $y_1$ в любой момент времени $t$ определяется по формуле:
$y_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Второе тело брошено с задержкой $\tau$. Это означает, что в момент времени $t$ (отсчитываемом от момента броска первого тела) второе тело находится в полете в течение времени $(t-\tau)$. Его координата $y_2$ описывается уравнением:
$y_2(t) = v_0 (t-\tau) - \frac{g(t-\tau)^2}{2}$

Тела встретятся, когда их координаты будут равны, то есть $y_1(t) = y_2(t)$. Составим и решим это уравнение относительно времени встречи $t$. Встреча может произойти только после броска второго тела, то есть при $t > \tau$.
$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 (t-\tau) - \frac{g(t-\tau)^2}{2}$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0\tau - \frac{g(t^2 - 2t\tau + \tau^2)}{2}$

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0\tau - \frac{gt^2}{2} + gt\tau - \frac{g\tau^2}{2}$

Сократим одинаковые члены $v_0 t$ и $-\frac{gt^2}{2}$ в обеих частях уравнения:
$0 = -v_0\tau + gt\tau - \frac{g\tau^2}{2}$

Перенесем члены, не содержащие $t$, в левую часть:
$v_0\tau + \frac{g\tau^2}{2} = gt\tau$

Поскольку по условию $\tau > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\tau$:
$v_0 + \frac{g\tau}{2} = gt$

Выразим время встречи $t$:
$t = \frac{v_0}{g} + \frac{\tau}{2}$

Условие задачи $0 < \tau < \frac{2v_0}{g}$ гарантирует, что второе тело брошено до того, как первое упадет на землю, и что время встречи $t > \tau$, то есть встреча произойдет после броска второго тела.

Ответ: $t = \frac{v_0}{g} + \frac{\tau}{2}$