Номер 2, страница 117 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 4. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 2, страница 117.

Условие.

2. К стене на нити подвешена линейка длиной $25 \text{ см}$. Под линейкой в стене имеется маленькое отверстие. На какой высоте $\text{h}$ над отверстием должен находиться нижний край линейки, если после пережигания нити линейка, свободно падая, закрывала собой отверстие в течение $0,1 \text{ с}$? Ускорение свободного падения принять равным $g=9,8 \text{ м}/\text{с}^2$.

Решение.

Дано:

$L = 25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$

$\Delta t = 0,1 \text{ с}$

$g = 9,8 \text{ м/с}^2$

$v_0 = 0$

Найти:

$h$

Решение:

Рассмотрим движение линейки после пережигания нити. Это движение является свободным падением с нулевой начальной скоростью. Выберем начало отсчета в точке, где находится отверстие, а ось $OY$ направим вертикально вниз.

Пусть $t_1$ — это время, через которое нижний край линейки достигнет отверстия. За это время линейка пройдет расстояние $h$. Для равноускоренного движения без начальной скорости это расстояние описывается формулой:

$h = \frac{gt_1^2}{2}$ (1)

Пусть $t_2$ — это время, через которое верхний край линейки достигнет отверстия. За это время верхний край пройдет расстояние, равное сумме высоты $h$ и длины линейки $L$:

$h + L = \frac{gt_2^2}{2}$ (2)

Время $\Delta t$, в течение которого отверстие было закрыто линейкой, равно разности времен $t_2$ и $t_1$:

$\Delta t = t_2 - t_1$

Отсюда можем выразить $t_2$:

$t_2 = t_1 + \Delta t$

Подставим это выражение для $t_2$ в уравнение (2):

$h + L = \frac{g(t_1 + \Delta t)^2}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $h$ и $t_1$. Подставим выражение для $h$ из уравнения (1) в последнее уравнение:

$\frac{gt_1^2}{2} + L = \frac{g(t_1^2 + 2t_1\Delta t + \Delta t^2)}{2}$

Раскроем скобки в правой части:

$\frac{gt_1^2}{2} + L = \frac{gt_1^2}{2} + \frac{g \cdot 2t_1\Delta t}{2} + \frac{g\Delta t^2}{2}$

$\frac{gt_1^2}{2} + L = \frac{gt_1^2}{2} + gt_1\Delta t + \frac{g\Delta t^2}{2}$

Сократим одинаковые слагаемые $\frac{gt_1^2}{2}$ в обеих частях уравнения:

$L = gt_1\Delta t + \frac{g\Delta t^2}{2}$

Теперь выразим из этого уравнения время $t_1$:

$gt_1\Delta t = L - \frac{g\Delta t^2}{2}$

$t_1 = \frac{L - \frac{g\Delta t^2}{2}}{g\Delta t} = \frac{L}{g\Delta t} - \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$t_1 = \frac{0,25}{9,8 \cdot 0,1} - \frac{0,1}{2} = \frac{0,25}{0,98} - 0,05 \approx 0,2551 - 0,05 = 0,2051 \text{ с}$

Теперь, зная время $t_1$, мы можем найти искомую высоту $h$ по формуле (1):

$h = \frac{gt_1^2}{2} = \frac{9,8 \cdot (0,2051)^2}{2} = 4,9 \cdot 0,042066 \approx 0,206 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для наглядности: $0,206 \text{ м} = 20,6 \text{ см}$.

Ответ: Нижний край линейки должен находиться на высоте $h \approx 0,206 \text{ м}$ (или $20,6 \text{ см}$) над отверстием.