Номер 4, страница 117 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 4, страница 117.

Условие.

4. Воздушный шар поднимается вверх без начальной скорости с постоянным ускорением и за 20 с достигает высоты 200 м. Спустя 10 с после начала движения от шара без толчка отделился балласт. Через какое время балласт достигнет земли?

Решение.

Дано:

Начальная скорость шара, $v_{0ш} = 0$ м/с
Время подъёма до высоты $H$, $t_{полн} = 20$ с
Высота подъёма, $H = 200$ м
Время отделения балласта, $t_1 = 10$ с
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Время падения балласта, $t_{пад}$ — ?

Решение:

Задача состоит из двух частей: равноускоренный подъём шара и свободное падение балласта.

1. Найдём ускорение $a$, с которым поднимается воздушный шар. Так как шар начинает движение без начальной скорости, путь, пройденный за время $t_{полн}$, описывается формулой:

$H = \frac{a t_{полн}^2}{2}$

Выразим из этой формулы ускорение $a$:

$a = \frac{2H}{t_{полн}^2}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{2 \cdot 200 \, \text{м}}{(20 \, \text{с})^2} = \frac{400 \, \text{м}}{400 \, \text{с}^2} = 1 \, \text{м/с}^2$

2. Теперь определим высоту $h_1$ и скорость $v_1$ шара в момент отделения балласта, то есть в момент времени $t_1 = 10$ с.

Высота, на которую поднимется шар за время $t_1$:

$h_1 = \frac{a t_1^2}{2} = \frac{1 \, \text{м/с}^2 \cdot (10 \, \text{с})^2}{2} = \frac{100 \, \text{м}}{2} = 50 \, \text{м}$

Скорость шара (и балласта) в этот момент:

$v_1 = a t_1 = 1 \, \text{м/с}^2 \cdot 10 \, \text{с} = 10 \, \text{м/с}$

3. Рассмотрим движение балласта после отделения. В этот момент балласт находится на высоте $h_1=50$ м и имеет начальную скорость $v_1=10$ м/с, направленную вертикально вверх. Дальнейшее движение балласта происходит под действием силы тяжести, то есть с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз.

Выберем ось координат $Y$, направленную вертикально вверх, с началом на поверхности земли. Тогда уравнение движения балласта (зависимость его высоты от времени $t_{пад}$) будет иметь вид:

$y(t_{пад}) = h_1 + v_1 t_{пад} - \frac{g t_{пад}^2}{2}$

Балласт достигнет земли, когда его координата $y$ станет равной нулю. Подставим известные значения в уравнение:

$0 = 50 + 10 t_{пад} - \frac{10 t_{пад}^2}{2}$

Упростим уравнение:

$5 t_{пад}^2 - 10 t_{пад} - 50 = 0$

Разделим все члены уравнения на 5:

$t_{пад}^2 - 2 t_{пад} - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t_{пад}$, используя формулу для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$t_{пад} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2}$

Поскольку $\sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11}$, получаем:

$t_{пад} = \frac{2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 1 \pm \sqrt{11}$

Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень со знаком «плюс»:

$t_{пад} = 1 + \sqrt{11} \approx 1 + 3.32 \approx 4.32 \, \text{с}$

Ответ: балласт достигнет земли через время $t_{пад} = (1 + \sqrt{11}) \, \text{с} \approx 4.32 \, \text{с}$.