Номер 9, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 9, страница 118.

Условие.

9. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 21 м/с. На какой высоте вектор скорости будет составлять с горизонтом угол 30°?

Решение.

Дано:

$α_0 = 60°$

$v_0 = 21$ м/с

$α = 30°$

$g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$h$ — ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось X) и равноускоренного по вертикали (ось Y).

Начальные составляющие скорости:

Горизонтальная: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(α_0)$

Вертикальная: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(α_0)$

Поскольку сопротивление воздуха не учитывается, горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на протяжении всего полета:

$v_x = v_{0x} = v_0 \cdot \cos(α_0)$

Вертикальная составляющая скорости в любой момент времени изменяется под действием ускорения свободного падения $g$. Связь между высотой подъема $h$ и вертикальной скоростью $v_y$ можно выразить формулой, не зависящей от времени:

$v_y^2 = v_{0y}^2 - 2gh$

Отсюда можно выразить высоту $h$:

$h = \frac{v_{0y}^2 - v_y^2}{2g}$

В тот момент, когда вектор скорости составляет с горизонтом угол $α$, тангенс этого угла равен отношению вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:

$\tan(α) = \frac{v_y}{v_x}$

Выразим $v_y$ через известные величины:

$v_y = v_x \cdot \tan(α) = (v_0 \cdot \cos(α_0)) \cdot \tan(α)$

Теперь подставим выражения для $v_{0y}$ и $v_y$ в формулу для высоты:

$h = \frac{(v_0 \cdot \sin(α_0))^2 - (v_0 \cdot \cos(α_0) \cdot \tan(α))^2}{2g}$

$h = \frac{v_0^2 (\sin^2(α_0) - \cos^2(α_0) \cdot \tan^2(α))}{2g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{21^2}{2 \cdot 9,8} \left( \sin^2(60°) - \cos^2(60°) \cdot \tan^2(30°) \right)$

Значения тригонометрических функций:

$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(60°) = \frac{1}{2}$

$\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Проведем вычисления:

$h = \frac{441}{19,6} \left( \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \right)$

$h = \frac{441}{19,6} \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} \right)$

$h = \frac{441}{19,6} \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{12} \right)$

$h = \frac{441}{19,6} \left( \frac{9 - 1}{12} \right) = \frac{441}{19,6} \cdot \frac{8}{12} = \frac{441}{19,6} \cdot \frac{2}{3}$

$h = \frac{441 \cdot 2}{19,6 \cdot 3} = \frac{882}{58,8} = 15$ м

Ответ: на высоте 15 м.