Номер 12, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 4. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 12, страница 118.

Условие.

12. Два тела брошены одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое под углом $60^\circ$ к горизонту. Начальная скорость каждого тела $v_0 = 25 \text{ м/с}$. Найдите расстояние между телами спустя время $t = 1,7 \text{ с}$.

Решение.

Дано:

Начальная скорость тел, $v_0 = 25$ м/с

Угол броска второго тела, $\alpha = 60^\circ$

Время, $t = 1.7$ с

Найти:

$d$ — расстояние между телами.

Решение:

Введем систему координат, в которой начало совпадает с точкой броска, ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз.

Запишем уравнения движения для каждого тела в векторной форме. Радиус-вектор тела, движущегося с постоянным ускорением, изменяется со временем по закону: $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{a}t^2}{2}$. Так как оба тела брошены из одной точки, их начальные радиус-векторы $\vec{r}_0$ равны нулю. Ускорение для обоих тел равно $\vec{g}$.

Для первого тела, брошенного вертикально вверх, вектор начальной скорости $\vec{v}_{0,1}$ имеет компоненты $(0, v_0)$. Его радиус-вектор в момент времени $t$:

$\vec{r}_1(t) = \vec{v}_{0,1} t + \frac{\vec{g}t^2}{2}$

Для второго тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту, вектор начальной скорости $\vec{v}_{0,2}$ имеет компоненты $(v_0 \cos\alpha, v_0 \sin\alpha)$. Его радиус-вектор в момент времени $t$:

$\vec{r}_2(t) = \vec{v}_{0,2} t + \frac{\vec{g}t^2}{2}$

Расстояние между телами $d$ равно модулю разности их радиус-векторов $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t)$:

$d = |\vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t)|$

Вычтем один вектор из другого:

$\Delta\vec{r} = \left(\vec{v}_{0,2} t + \frac{\vec{g}t^2}{2}\right) - \left(\vec{v}_{0,1} t + \frac{\vec{g}t^2}{2}\right) = (\vec{v}_{0,2} - \vec{v}_{0,1})t$

Как видно из формулы, расстояние между телами зависит только от разности их начальных скоростей и времени, так как они движутся с одинаковым ускорением $\vec{g}$. Движение одного тела относительно другого является равномерным и прямолинейным.

Найдем вектор разности начальных скоростей $\Delta\vec{v}_0 = \vec{v}_{0,2} - \vec{v}_{0,1}$:

$\Delta\vec{v}_0 = (v_0 \cos\alpha - 0, v_0 \sin\alpha - v_0) = (v_0 \cos\alpha, v_0(\sin\alpha - 1))$

Расстояние между телами $d$ — это модуль вектора $\Delta\vec{r}$:

$d = |\Delta\vec{r}| = |\Delta\vec{v}_0| \cdot t = \sqrt{(v_0 \cos\alpha)^2 + (v_0(\sin\alpha - 1))^2} \cdot t$

$d = v_0 t \sqrt{\cos^2\alpha + (\sin\alpha - 1)^2} = v_0 t \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha + 1}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, упростим выражение под корнем:

$d = v_0 t \sqrt{1 - 2\sin\alpha + 1} = v_0 t \sqrt{2(1 - \sin\alpha)}$

Подставим числовые значения. Значение синуса для угла $60^\circ$ равно $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$d = 25 \cdot 1.7 \cdot \sqrt{2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = 42.5 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Выполним вычисления:

$d \approx 42.5 \cdot \sqrt{2 - 1.732} = 42.5 \cdot \sqrt{0.268} \approx 42.5 \cdot 0.5177 \approx 22.00$ м.

Ответ: расстояние между телами спустя $1.7$ с составит примерно $22.0$ м.