Номер 13, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 13, страница 118.

Условие.

13. С поверхности Земли одновременно бросают два тела: одно вертикально вверх, второе под углом к горизонту. Найдите угол, под которым бросили второе тело, если оба тела упали одновременно, причём высота подъёма тела, брошенного вертикально вверх, равна расстоянию, на котором второе тело упало от точки бросания.

Решение.

Дано:

Два тела бросают одновременно с поверхности Земли.
Тело 1: брошено вертикально вверх.
Тело 2: брошено под углом $\alpha$ к горизонту.
$t_1 = t_2$ (время полета тел одинаково)
$H_1 = L_2$ (максимальная высота подъема первого тела равна дальности полета второго)

Найти:

$\alpha$ — угол, под которым бросили второе тело.

Решение:

Пусть первое тело, брошенное вертикально вверх, имеет начальную скорость $v_1$. Время его полета $t_1$ до возвращения на землю и максимальная высота подъема $H_1$ определяются формулами (где $g$ — ускорение свободного падения):

$t_1 = \frac{2v_1}{g}$

$H_1 = \frac{v_1^2}{2g}$

Пусть второе тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту, имеет начальную скорость $v_2$. Время его полета $t_2$ и дальность полета $L_2$ определяются формулами:

$t_2 = \frac{2v_2 \sin\alpha}{g}$

$L_2 = \frac{v_2^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Согласно условию задачи, времена полета тел равны ($t_1 = t_2$):

$\frac{2v_1}{g} = \frac{2v_2 \sin\alpha}{g}$

Из этого равенства следует соотношение между начальными скоростями:

$v_1 = v_2 \sin\alpha$ (1)

Также, по условию, максимальная высота подъема первого тела равна дальности полета второго ($H_1 = L_2$):

$\frac{v_1^2}{2g} = \frac{v_2^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Упростив, получаем:

$v_1^2 = 2v_2^2 \sin(2\alpha)$ (2)

Теперь подставим выражение для $v_1$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$(v_2 \sin\alpha)^2 = 2v_2^2 \sin(2\alpha)$

$v_2^2 \sin^2\alpha = 2v_2^2 \sin(2\alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$:

$v_2^2 \sin^2\alpha = 2v_2^2 (2\sin\alpha \cos\alpha)$

$v_2^2 \sin^2\alpha = 4v_2^2 \sin\alpha \cos\alpha$

Сокращаем обе части на $v_2^2 \sin\alpha$ (поскольку начальная скорость $v_2 \neq 0$ и угол броска $\alpha$ не равен 0 или 180°):

$\sin\alpha = 4\cos\alpha$

Разделив обе части на $\cos\alpha$ (так как $\alpha \neq 90^\circ$, иначе дальность полета была бы равна нулю, что противоречит условию), получаем тангенс угла:

$\tan\alpha = 4$

Следовательно, искомый угол равен арктангенсу четырех.

$\alpha = \arctan(4)$

Ответ: Угол, под которым бросили второе тело, равен $\arctan(4)$, что составляет примерно $76^\circ$.