Номер 1, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 1.26. Равномерное движение точки по окружности. Центростремительное ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 1, страница 121.

Условие.

? 1. Докажите построением, что при равномерном движении точки по окружности ускорение направлено к центру.

Решение.

Решение

Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса $R$ с центром в точке O. При равномерном движении модуль (величина) скорости точки постоянен и равен $v$, однако направление вектора скорости $\vec{v}$ непрерывно изменяется, так как он всегда направлен по касательной к траектории.

Ускорение по определению является вектором, характеризующим быстроту изменения вектора скорости. Оно равно пределу отношения изменения вектора скорости $\Delta \vec{v}$ к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло, при $\Delta t \to 0$:$\vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$.Направление вектора ускорения $\vec{a}$ совпадает с направлением вектора мгновенного изменения скорости $\Delta \vec{v}$.

Выполним геометрическое построение для определения направления вектора $\Delta \vec{v}$.

Пусть в момент времени $t_1$ точка находится в положении A, а в близкий момент времени $t_2 = t_1 + \Delta t$ — в положении B. Вектор скорости в точке A, обозначим его $\vec{v}_1$, направлен по касательной к окружности в этой точке. Аналогично, вектор скорости $\vec{v}_2$ в точке B направлен по касательной в точке B. По условию равномерного движения, модули этих векторов равны: $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.

Изменение вектора скорости за промежуток времени $\Delta t$ равно $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$. Для нахождения этого вектора перенесем вектор $\vec{v}_1$ параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора $\vec{v}_2$. Тогда по правилу вычитания векторов вектор $\Delta \vec{v}$ будет соединять конец вектора $\vec{v}_1$ с концом вектора $\vec{v}_2$.

Рассмотрим два треугольника:

1. Треугольник OAB, образованный двумя радиусами OA, OB и хордой AB. Он является равнобедренным, так как его боковые стороны равны радиусу окружности ($OA = OB = R$). Угол при вершине O обозначим как $\Delta \varphi$.

2. Треугольник, построенный на векторах $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ и $\Delta \vec{v}$. Он также является равнобедренным, так как $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.

Поскольку вектор скорости в любой точке окружности перпендикулярен радиусу, проведенному в эту точку, то $\vec{v}_1 \perp OA$ и $\vec{v}_2 \perp OB$. Угол между векторами скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ равен углу между перпендикулярными к ним радиусами OA и OB, то есть он также равен $\Delta \varphi$.

Следовательно, треугольник OAB и треугольник, построенный на векторах скоростей, подобны друг другу (как два равнобедренных треугольника с равными углами при вершине).

Теперь определим направление вектора $\Delta \vec{v}$ в пределе, когда $\Delta t \to 0$. Когда $\Delta t$ стремится к нулю, точка B стремится к точке A, и угол $\Delta \varphi$ также стремится к нулю. В треугольнике скоростей угол между вектором $\vec{v}_1$ и вектором $\Delta \vec{v}$ равен $(180^\circ - \Delta \varphi) / 2 = 90^\circ - \Delta \varphi / 2$. При $\Delta \varphi \to 0$ этот угол стремится к $90^\circ$.

Это означает, что в пределе вектор изменения скорости $\Delta \vec{v}$ становится перпендикулярным вектору мгновенной скорости $\vec{v}$. Так как вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной к окружности, то перпендикулярный ему вектор $\Delta \vec{v}$ направлен вдоль радиуса. Из построения видно, что вектор $\Delta \vec{v}$ направлен внутрь "изгиба" траектории, то есть к центру окружности O.

Поскольку вектор ускорения $\vec{a}$ сонаправлен вектору $\Delta \vec{v}$, то и ускорение при равномерном движении точки по окружности всегда направлено к центру этой окружности. Такое ускорение называется центростремительным.

Ответ:

Геометрическое построение показывает, что вектор изменения скорости $\Delta \vec{v}$ при равномерном движении по окружности в пределе малого промежутка времени ($\Delta t \to 0$) становится перпендикулярен вектору мгновенной скорости $\vec{v}$ и направлен к центру окружности. Так как вектор ускорения $\vec{a}$ имеет то же направление, что и $\Delta \vec{v}$, то ускорение при равномерном движении по окружности направлено к ее центру.