Номер 2, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Вопросы. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 2, страница 130.

Условие.

2. Проведите аналогию между уравнениями, описывающими линейные и угловые величины.

Решение.

Решение

Аналогия между уравнениями, описывающими поступательное (линейное) и вращательное (угловое) движение, заключается в формальном сходстве математических выражений, которые описывают эти два вида движения. Если в уравнениях для поступательного движения заменить все линейные величины на их угловые аналоги, то получатся соответствующие уравнения для вращательного движения. Эта аналогия позволяет лучше понять законы вращения, если хорошо известны законы поступательного движения.

Ниже представлена сводка аналогичных величин и уравнений.

Аналогия физических величин

Каждой физической величине, характеризующей поступательное движение, соответствует свой аналог во вращательном движении.

Поступательное движение ↔ Вращательное движение

• Перемещение (путь) $s$ ↔ Угловое перемещение (угол поворота) $\phi$

• Линейная скорость $v = \frac{ds}{dt}$ ↔ Угловая скорость $\omega = \frac{d\phi}{dt}$

• Линейное ускорение $a = \frac{dv}{dt}$ ↔ Угловое ускорение $\epsilon = \frac{d\omega}{dt}$

• Масса $m$ (мера инертности) ↔ Момент инерции $I$ (мера инертности при вращении)

• Сила $F$ (причина изменения скорости) ↔ Момент силы $M$ (причина изменения угловой скорости)

• Импульс $p = mv$ ↔ Момент импульса $L = I\omega$

Аналогия уравнений кинематики

Уравнения, описывающие движение с постоянным ускорением, имеют одинаковую структуру.

Поступательное движение (при $a=const$) ↔ Вращательное движение (при $\epsilon=const$)

• Зависимость скорости от времени: $v = v_0 + at$ ↔ $\omega = \omega_0 + \epsilon t$

• Зависимость координаты от времени: $s = s_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$ ↔ $\phi = \phi_0 + \omega_0 t + \frac{\epsilon t^2}{2}$

• Связь скорости и перемещения: $v^2 - v_0^2 = 2a(s - s_0)$ ↔ $\omega^2 - \omega_0^2 = 2\epsilon(\phi - \phi_0)$

Аналогия уравнений динамики

Основные законы динамики также имеют свои аналоги.

Поступательное движение ↔ Вращательное движение

• Второй закон Ньютона: $F = ma$ ↔ Основное уравнение динамики вращательного движения: $M = I\epsilon$

• Кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2}$ ↔ Кинетическая энергия вращения: $E_k = \frac{I\omega^2}{2}$

• Работа постоянной силы: $A = F \cdot s$ ↔ Работа постоянного момента силы: $A = M \cdot \phi$

• Изменение импульса (второй закон Ньютона в импульсной форме): $\Delta p = F \Delta t$ ↔ Изменение момента импульса: $\Delta L = M \Delta t$

• Закон сохранения импульса: $\sum \vec{p} = \text{const}$ (для замкнутой системы) ↔ Закон сохранения момента импульса: $\sum \vec{L} = \text{const}$ (для замкнутой системы)

Ответ:

Аналогия между уравнениями, описывающими линейные и угловые величины, заключается в том, что основные уравнения кинематики и динамики для вращательного движения имеют тот же математический вид, что и для поступательного. Эта аналогия проявляется при формальной замене линейных величин на их угловые аналоги: перемещение $s$ на угол поворота $\phi$, линейная скорость $v$ на угловую скорость $\omega$, линейное ускорение $a$ на угловое ускорение $\epsilon$, масса $m$ (мера инертности) на момент инерции $I$, сила $F$ на момент силы $M$, а импульс $p$ на момент импульса $L$. Например, второй закон Ньютона $F=ma$ для поступательного движения аналогичен основному уравнению динамики вращательного движения $M=I\epsilon$, а формула кинетической энергии $E_k = \frac{mv^2}{2}$ аналогична формуле $E_k = \frac{I\omega^2}{2}$ для вращательного движения.