Номер 4, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 5. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 4, страница 130.

Условие.

4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту. Чему равна дальность полёта снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъёма равен 15 км?

Решение.

Дано:

$\alpha = 45^\circ$

$R = 15 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:
$R = 15 \cdot 10^3 \text{ м}$

Найти:

$L - ?$

Решение:

Движение снаряда можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Начальную скорость снаряда $v_0$ можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

В точке максимального подъема траектории вертикальная составляющая скорости снаряда равна нулю ($v_y = 0$), а скорость направлена горизонтально и равна $v = v_x = v_0 \cos\alpha$.

Ускорение снаряда в любой точке траектории равно ускорению свободного падения $g$ и направлено вертикально вниз. В точке максимального подъема вектор скорости перпендикулярен вектору ускорения. Следовательно, в этой точке ускорение свободного падения является центростремительным (нормальным) ускорением $a_n$.

$a_n = g$

Центростремительное ускорение связано со скоростью $v$ и радиусом кривизны траектории $R$ формулой:

$a_n = \frac{v^2}{R}$

Приравнивая два выражения для $a_n$, получаем:

$g = \frac{(v_0 \cos\alpha)^2}{R}$

Отсюда можно выразить квадрат начальной скорости $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{gR}{\cos^2\alpha}$

Дальность полета снаряда $L$ определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим в эту формулу выражение для $v_0^2$:

$L = \frac{1}{g} \cdot \left(\frac{gR}{\cos^2\alpha}\right) \cdot \sin(2\alpha) = \frac{R \sin(2\alpha)}{\cos^2\alpha}$

Теперь подставим числовые значения. Угол $\alpha = 45^\circ$.

$\sin(2\alpha) = \sin(2 \cdot 45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1$

$\cos\alpha = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Тогда дальность полета равна:

$L = \frac{R \cdot 1}{1/2} = 2R$

$L = 2 \cdot 15 \text{ км} = 30 \text{ км}$

Ответ: дальность полета снаряда равна $30 \text{ км}$.