Номер 11, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Упражнение 5 - номер 11, страница 131.

Условие.

11. Маховое колесо радиусом $R = 1$ м начинает движение из состояния покоя равноускоренно. Через $t_1 = 10$ с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость $v_1 = 100$ м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени $t_2 = 15$ с.

Решение.

Дано:

Радиус колеса: $R = 1$ м
Время 1: $t_1 = 10$ с
Скорость в момент времени $t_1$: $v_1 = 100$ м/с
Время 2: $t_2 = 15$ с
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с (движение из состояния покоя)

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Скорость в момент времени $t_2$: $v_2$ - ?
Касательное ускорение в момент времени $t_2$: $a_t$ - ?
Нормальное ускорение в момент времени $t_2$: $a_n$ - ?
Полное ускорение в момент времени $t_2$: $a$ - ?

Решение:

Поскольку маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно, его тангенциальное (касательное) ускорение $a_t$ является постоянной величиной. Линейная скорость точки на ободе в любой момент времени $t$ определяется формулой для равноускоренного движения:

$v(t) = v_0 + a_t t$

Так как $v_0 = 0$, то $v(t) = a_t t$.

Касательное ускорение

Найдем тангенциальное ускорение, используя данные для момента времени $t_1$.

$a_t = \frac{v_1}{t_1} = \frac{100 \text{ м/с}}{10 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2$

Так как движение равноускоренное, тангенциальное ускорение постоянно и в момент времени $t_2$ оно будет иметь то же значение.

Ответ: Касательное ускорение точки равно $10 \text{ м/с}^2$.

Скорость

Теперь мы можем найти скорость точки на ободе в момент времени $t_2 = 15$ с, используя найденное тангенциальное ускорение.

$v_2 = a_t t_2 = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 15 \text{ с} = 150 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость точки в момент времени $t_2 = 15$ с равна $150 \text{ м/с}$.

Нормальное ускорение

Нормальное (или центростремительное) ускорение направлено к центру окружности и вычисляется по формуле:

$a_n = \frac{v^2}{R}$

Для момента времени $t_2$ оно будет равно:

$a_n = \frac{v_2^2}{R} = \frac{(150 \text{ м/с})^2}{1 \text{ м}} = \frac{22500 \text{ м}^2/\text{с}^2}{1 \text{ м}} = 22500 \text{ м/с}^2$

Ответ: Нормальное ускорение точки в момент времени $t_2 = 15$ с равно $22500 \text{ м/с}^2$.

Полное ускорение

Полное ускорение является векторной суммой тангенциального и нормального ускорений. Поскольку эти два вектора всегда перпендикулярны друг другу, модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$

Подставим вычисленные значения:

$a = \sqrt{(10 \text{ м/с}^2)^2 + (22500 \text{ м/с}^2)^2} = \sqrt{100 + 506250000} \text{ м/с}^2 = \sqrt{506250100} \text{ м/с}^2 \approx 22500.002 \text{ м/с}^2$

Так как нормальное ускорение значительно больше тангенциального, полное ускорение почти равно нормальному.

Ответ: Полное ускорение точки в момент времени $t_2=15$ с равно $\sqrt{506250100} \text{ м/с}^2 \approx 22500 \text{ м/с}^2$.