Номер 9, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Упражнение 5 - номер 9, страница 131.

Условие.

9. Груз $\text{P}$ начинает опускаться с постоянным ускорением $a = 2 \, \text{м/с}^2$ и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами $r = 0,25 \, \text{м}$ и $R = 0,50 \, \text{м}$ (рис. 1.89). Какое ускорение $a_1$ будет иметь точка $\text{M}$ через $t = 0,50 \, \text{с}$ после начала движения?

Рис. 1.89

Решение.

Дано:

$a = 2 \text{ м/с}^2$

$r = 0,25 \text{ м}$

$R = 0,50 \text{ м}$

$t = 0,50 \text{ с}$

Найти:

$a_1$

Решение:

Полное ускорение $a_1$ точки M, находящейся на ободе большего радиуса, является векторной суммой тангенциального (касательного) ускорения $a_t$ и нормального (центростремительного) ускорения $a_n$. Поскольку тангенциальное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны, модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

$a_1 = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}$

1. Сначала определим угловое ускорение $\varepsilon$ шкива. Так как нить не проскальзывает, линейное ускорение точек на внутреннем радиусе $r$ шкива равно ускорению груза $a$. Связь между линейным и угловым ускорением:

$a = \varepsilon \cdot r$

Отсюда находим угловое ускорение:

$\varepsilon = \frac{a}{r} = \frac{2 \text{ м/с}^2}{0,25 \text{ м}} = 8 \text{ рад/с}^2$

2. Шкив является твердым телом, поэтому все его точки вращаются с одинаковым угловым ускорением. Тангенциальное ускорение точки M на внешнем радиусе $R$ равно:

$a_t = \varepsilon \cdot R = 8 \text{ рад/с}^2 \cdot 0,50 \text{ м} = 4 \text{ м/с}^2$

Тангенциальное ускорение постоянно, так как постоянно угловое ускорение.

3. Далее найдем нормальное ускорение. Для этого нам нужна мгновенная угловая скорость $\omega$ шкива в момент времени $t = 0,50 \text{ с}$. Поскольку шкив начинает движение из состояния покоя ($\omega_0 = 0$), его угловая скорость в момент времени $t$ равна:

$\omega = \omega_0 + \varepsilon t = 0 + 8 \text{ рад/с}^2 \cdot 0,50 \text{ с} = 4 \text{ рад/с}$

4. Теперь можно вычислить нормальное ускорение точки M в момент времени $t$:

$a_n = \omega^2 \cdot R = (4 \text{ рад/с})^2 \cdot 0,50 \text{ м} = 16 \text{ рад}^2/\text{с}^2 \cdot 0,50 \text{ м} = 8 \text{ м/с}^2$

5. Наконец, подставим найденные значения тангенциального и нормального ускорений в формулу для полного ускорения:

$a_1 = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(4 \text{ м/с}^2)^2 + (8 \text{ м/с}^2)^2} = \sqrt{16 + 64} \text{ м/с}^2 = \sqrt{80} \text{ м/с}^2$

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \approx 8,944 \text{ м/с}^2$

Округляя до сотых, получаем $a_1 \approx 8,94 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a_1 \approx 8,94 \text{ м/с}^2$.