Номер 12, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Упражнение 5 - номер 12, страница 131.

Условие.

12. Шкив радиусом $R = 20$ см начинает вращаться с угловым ускорением $\beta = 3$ рад/с$^2$. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение $a = 75$ см/с$^2$?

Решение.

Дано:

Радиус шкива, $R = 20$ см

Угловое ускорение, $β = 3$ рад/с²

Полное ускорение точки на ободе, $a = 75$ см/с²

Начальная угловая скорость, $ω_0 = 0$ (так как шкив начинает вращаться)

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$a = 75 \text{ см/с²} = 0.75 \text{ м/с²}$
$β = 3 \text{ рад/с²}$

Найти:

Время, $t$ - ?

Решение:

Полное ускорение $a$ точки, движущейся по окружности, является векторной суммой тангенциального (касательного) ускорения $a_τ$ и нормального (центростремительного) ускорения $a_n$. Так как векторы $a_τ$ и $a_n$ взаимно перпендикулярны, модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{a_τ^2 + a_n^2}$

Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением $β$ и радиусом $R$ соотношением:

$a_τ = βR$

Подставим числовые значения. Для удобства вычислений можно оставить величины в сантиметрах, так как они согласованы.

$a_τ = 3 \text{ рад/с²} \cdot 20 \text{ см} = 60 \text{ см/с²}$

Поскольку угловое ускорение $β$ постоянно, тангенциальное ускорение $a_τ$ также постоянно в течение всего времени движения.

Теперь из формулы для полного ускорения мы можем выразить и найти нормальное ускорение $a_n$ в искомый момент времени:

$a^2 = a_τ^2 + a_n^2 \implies a_n = \sqrt{a^2 - a_τ^2}$

$a_n = \sqrt{(75 \text{ см/с²})^2 - (60 \text{ см/с²})^2} = \sqrt{5625 - 3600} = \sqrt{2025} = 45 \text{ см/с²}$

С другой стороны, нормальное ускорение определяется через мгновенную угловую скорость $ω$ и радиус $R$:

$a_n = ω^2 R$

Отсюда можем выразить и найти квадрат мгновенной угловой скорости в этот момент времени:

$ω^2 = \frac{a_n}{R} = \frac{45 \text{ см/с²}}{20 \text{ см}} = 2.25 \text{ (рад/с)²}$

Для равноускоренного вращения из состояния покоя ($ω_0 = 0$) мгновенная угловая скорость $ω$ связана со временем $t$ и угловым ускорением $β$ формулой:

$ω = βt$

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

$ω^2 = (βt)^2 = β^2 t^2$

Теперь мы можем выразить и найти искомое время $t$:

$t^2 = \frac{ω^2}{β^2} = \frac{2.25 \text{ (рад/с)²}}{(3 \text{ рад/с²})^2} = \frac{2.25}{9} = 0.25 \text{ с²}$

$t = \sqrt{0.25 \text{ с²}} = 0.5 \text{ с}$

Ответ: 0.5 с.