Номер 5, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 5, страница 149.

Условие.

5. Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью 30 м/с. С какой наименьшей скоростью относительно Земли должен ехать автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклонённом под углом 60° к горизонту, не оставалось следов капель? Завихрения воздуха не учитывать.

Решение.

Дано:

$v_к = 30$ м/с (скорость капель относительно Земли)

$\alpha = 60°$ (угол наклона заднего стекла к горизонту)

Найти:

$v_а$ — наименьшая скорость автомобиля относительно Земли.

Решение:

Для того чтобы на заднем стекле автомобиля не оставалось следов капель, капли дождя должны двигаться параллельно поверхности стекла. Это означает, что вектор скорости капель относительно автомобиля, $\vec{v}_{ка}$, должен быть направлен вдоль плоскости стекла.

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с Землей. Пусть ось OX направлена горизонтально по направлению движения автомобиля, а ось OY — вертикально вниз.

В этой системе отсчета вектор скорости автомобиля $\vec{v}_а$ имеет компоненты $(v_а, 0)$, а вектор скорости капель дождя $\vec{v}_к$ (которые падают отвесно) имеет компоненты $(0, v_к)$.

Скорость капель относительно автомобиля $\vec{v}_{ка}$ находится по закону сложения скоростей:

$\vec{v}_{ка} = \vec{v}_к - \vec{v}_а$

Найдем компоненты вектора относительной скорости:

$v_{ка, x} = v_{к, x} - v_{а, x} = 0 - v_а = -v_а$

$v_{ка, y} = v_{к, y} - v_{а, y} = v_к - 0 = v_к$

Вектор относительной скорости $\vec{v}_{ка}$ направлен назад (против оси OX) и вниз (по оси OY). Угол $\beta$, который этот вектор составляет с горизонталью, можно найти из прямоугольного треугольника, образованного векторами скоростей. Тангенс этого угла равен отношению модуля вертикальной компоненты скорости к модулю горизонтальной компоненты:

$\tan\beta = \frac{|v_{ка, y}|}{|v_{ка, x}|} = \frac{v_к}{v_а}$

Согласно условию задачи, вектор относительной скорости капель должен быть параллелен заднему стеклу, которое наклонено под углом $\alpha = 60°$ к горизонту. Следовательно, угол $\beta$ должен быть равен углу $\alpha$.

$\beta = \alpha = 60°$

Приравнивая, получаем:

$\tan\alpha = \frac{v_к}{v_а}$

Отсюда выражаем искомую скорость автомобиля $v_а$:

$v_а = \frac{v_к}{\tan\alpha}$

Подставим числовые значения:

$v_а = \frac{30 \text{ м/с}}{\tan60°} = \frac{30}{\sqrt{3}} \text{ м/с}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$v_а = \frac{30\sqrt{3}}{3} \text{ м/с} = 10\sqrt{3} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение скорости:

$v_а \approx 10 \cdot 1.732 = 17.32 \text{ м/с}$

Слово "наименьшая" в условии задачи следует понимать как скорость, при которой выполняется идеальное условие скольжения капель вдоль стекла без ударной (нормальной) составляющей. При любой другой скорости капли будут ударяться о стекло, оставляя следы.

Ответ: $v_а = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \approx 17.32 \text{ м/с}$.