Номер 6, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 6, страница 149.

Условие.

6. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Решение.

Дано:

$t_1 = 1 \text{ мин}$

$t_2 = 45 \text{ с}$

Переведем все данные в систему СИ:

$t_1 = 1 \cdot 60 = 60 \text{ с}$

Найти:

$t_3$ - ?

Решение:

Обозначим длину эскалатора как $L$, скорость движения эскалатора как $v_э$, а начальную скорость человека относительно эскалатора как $v_ч$.

Когда человек идет по движущемуся вниз эскалатору, его скорость относительно земли равна сумме скорости эскалатора и скорости человека. Пройденный путь (длина эскалатора) равен произведению этой суммарной скорости на время движения.

В первом случае время спуска $t_1 = 60 \text{ с}$. Уравнение движения имеет вид:

$L = (v_ч + v_э) \cdot t_1 \implies L = (v_ч + v_э) \cdot 60$

Во втором случае человек идет вдвое быстрее, то есть его скорость равна $2v_ч$. Время спуска $t_2 = 45 \text{ с}$. Тогда:

$L = (2v_ч + v_э) \cdot t_2 \implies L = (2v_ч + v_э) \cdot 45$

В третьем случае человек стоит на эскалаторе, его скорость относительно эскалатора равна нулю. Время спуска, которое нужно найти, обозначим $t_3$. Скорость человека относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$.

$L = v_э \cdot t_3$

Из первых двух случаев мы получили систему уравнений. Выразим из них суммарные скорости:

1) $v_ч + v_э = \frac{L}{60}$

2) $2v_ч + v_э = \frac{L}{45}$

Чтобы найти скорость человека $v_ч$, вычтем первое уравнение из второго:

$(2v_ч + v_э) - (v_ч + v_э) = \frac{L}{45} - \frac{L}{60}$

$v_ч = L (\frac{1}{45} - \frac{1}{60})$

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$v_ч = L (\frac{4}{180} - \frac{3}{180}) = \frac{L}{180}$

Теперь подставим найденное значение $v_ч$ в первое уравнение, чтобы найти скорость эскалатора $v_э$:

$\frac{L}{180} + v_э = \frac{L}{60}$

$v_э = \frac{L}{60} - \frac{L}{180} = L (\frac{3}{180} - \frac{1}{180}) = \frac{2L}{180} = \frac{L}{90}$

Наконец, найдем время $t_3$, за которое спустится человек, стоящий на эскалаторе, используя третье уравнение:

$t_3 = \frac{L}{v_э} = \frac{L}{L/90} = 90 \text{ с}$

Ответ: 90 с.