Номер 10, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Физика, 10 класс Учебник, авторы: Мякишев Генадий Яковлевич, Синяков Арон Залманович, издательство Просвещение, Москва, 2021, белого цвета

Авторы: Мякишев Г. Я., Синяков А. З.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: белый колесо обозрения, статор и ротор изображены

ISBN: 978-5-09-087885-2

Популярные ГДЗ в 10 классе

Упражнение 6. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 10, страница 149.

№10 (с. 149)
Условие. №10 (с. 149)
скриншот условия
Физика, 10 класс Учебник, авторы: Мякишев Генадий Яковлевич, Синяков Арон Залманович, издательство Просвещение, Москва, 2021, белого цвета, страница 149, номер 10, Условие Физика, 10 класс Учебник, авторы: Мякишев Генадий Яковлевич, Синяков Арон Залманович, издательство Просвещение, Москва, 2021, белого цвета, страница 149, номер 10, Условие (продолжение 2)

10. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения $v_0 = 5 \text{ м/с}$ на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что её скорость относительно воды постоянна, равна по модулю $u = 10 \text{ м/с}$ и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки $d = 100 \text{ м}$. Определите траекторию лодки.

Решение. №10 (с. 149)

Дано

$v_0 = 5$ м/с

$u = 10$ м/с

$d = 100$ м

Найти:

$L$ - расстояние сноса лодки

$x(y)$ - уравнение траектории лодки

Решение

Введем систему координат. Пусть ось $Y$ направлена перпендикулярно берегу (от одного берега к другому), а ось $X$ — вдоль берега по направлению течения. Начало координат $(0,0)$ находится в точке старта лодки.

Скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{абс}$ является векторной суммой скорости лодки относительно воды $\vec{u}$ и скорости течения $\vec{v}_{теч}$: $\vec{v}_{абс} = \vec{u} + \vec{v}_{теч}$.

В нашей системе координат:

  • Скорость лодки относительно воды направлена вдоль оси $Y$: $\vec{u} = (0, u)$.
  • Скорость течения направлена вдоль оси $X$ и зависит от расстояния от берега $y$: $\vec{v}_{теч} = (v_x(y), 0)$.

Таким образом, компоненты абсолютной скорости лодки равны:

$v_y = u = 10$ м/с

$v_x = v_{теч}(y)$

По условию, скорость течения пропорциональна расстоянию от ближайшего берега. На середине реки, при $y = d/2$, скорость максимальна и равна $v_0$. У берегов ($y=0$ и $y=d$) скорость равна нулю. Это означает, что профиль скорости течения представляет собой два линейных участка.

1. На первой половине реки ($0 \le y \le d/2$):

Скорость пропорциональна расстоянию $y$ от начального берега: $v_x(y) = k \cdot y$.

Используем известное значение на середине реки: $v_0 = k \cdot (d/2)$, откуда находим коэффициент пропорциональности $k = \frac{2v_0}{d}$.

Тогда $v_x(y) = \frac{2v_0}{d} y$ для $0 \le y \le d/2$.

2. На второй половине реки ($d/2 \le y \le d$):

Скорость пропорциональна расстоянию от конечного берега, которое равно $(d-y)$: $v_x(y) = k \cdot (d-y) = \frac{2v_0}{d} (d-y)$.

1. Нахождение расстояния сноса $L$

Движение поперек реки (вдоль оси $Y$) происходит с постоянной скоростью $u$. Время, за которое лодка пересечет реку, равно:

$T = \frac{d}{u} = \frac{100 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 10$ с.

За это время лодку сносит течением на расстояние $L$. Так как скорость течения $v_x$ меняется, для нахождения $L$ необходимо проинтегрировать скорость по времени:

$L = \int_0^T v_x(t) dt$.

Удобнее перейти от интегрирования по времени к интегрированию по координате $y$. Так как $y = u \cdot t$, то $t = y/u$ и $dt = dy/u$. Когда $t$ меняется от $0$ до $T$, координата $y$ меняется от $0$ до $d$.

$L = \int_0^d v_x(y) \frac{dy}{u} = \frac{1}{u} \int_0^d v_x(y) dy$.

Интеграл $\int_0^d v_x(y) dy$ представляет собой площадь под графиком зависимости $v_x(y)$. Этот график — треугольник с основанием $d$ и высотой $v_0$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} d v_0$.

Тогда расстояние сноса:

$L = \frac{1}{u} \cdot (\frac{1}{2} d v_0) = \frac{d v_0}{2u}$.

Подставляем числовые значения:

$L = \frac{100 \text{ м} \cdot 5 \text{ м/с}}{2 \cdot 10 \text{ м/с}} = \frac{500}{20} \text{ м} = 25$ м.

Ответ: Расстояние, на которое будет снесена лодка, равно 25 м.

2. Определение траектории лодки

Траектория — это зависимость $x(y)$. Найдем ее из соотношения скоростей:

$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{v_x(y)}{v_y} = \frac{v_x(y)}{u}$.

Отсюда $dx = \frac{v_x(y)}{u} dy$. Интегрируя, получаем $x(y) = \int_0^y \frac{v_x(y')}{u} dy'$.

Рассмотрим два участка.

а) Для первой половины пути ($0 \le y \le d/2 = 50$ м):

$x(y) = \int_0^y \frac{1}{u} \left(\frac{2v_0}{d} y'\right) dy' = \frac{2v_0}{ud} \int_0^y y' dy' = \frac{2v_0}{ud} \frac{y^2}{2} = \frac{v_0}{ud} y^2$.

Подставляя значения: $x(y) = \frac{5}{10 \cdot 100} y^2 = 0.005 y^2$.

Это уравнение параболы.

б) Для второй половины пути ($d/2 < y \le d$, или $50 < y \le 100$ м):

$x(y) = x(d/2) + \int_{d/2}^y \frac{v_x(y')}{u} dy' = x(d/2) + \int_{d/2}^y \frac{1}{u} \left(\frac{2v_0}{d}(d-y')\right) dy'$.

Снос на середине реки: $x(d/2) = \frac{v_0}{ud} (\frac{d}{2})^2 = \frac{v_0d}{4u} = \frac{5 \cdot 100}{4 \cdot 10} = 12.5$ м.

$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \int_{d/2}^y (d-y') dy' = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left[ dy' - \frac{y'^2}{2} \right]_{d/2}^y$

$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left( (dy - \frac{y^2}{2}) - (d\frac{d}{2} - \frac{(d/2)^2}{2}) \right) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left( dy - \frac{y^2}{2} - \frac{3d^2}{8} \right)$

$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{u}y - \frac{v_0}{ud}y^2 - \frac{3v_0d}{4u} = -\frac{v_0}{ud}y^2 + \frac{2v_0}{u}y - \frac{v_0d}{2u}$.

Подставляя значения: $x(y) = -0.005y^2 + \frac{2 \cdot 5}{10}y - \frac{5 \cdot 100}{2 \cdot 10} = -0.005y^2 + y - 25$.

Это также уравнение параболы, но с ветвями, направленными в противоположную сторону по оси $x$.

Таким образом, траектория лодки состоит из двух сопряженных параболических дуг.

Ответ: Траектория лодки описывается системой уравнений (где $x$ и $y$ в метрах):

$x(y) = \begin{cases} 0.005 y^2, & \text{при } 0 \le y \le 50 \\ -0.005y^2 + y - 25, & \text{при } 50 < y \le 100\end{cases}$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 149 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №10 (с. 149), авторов: Мякишев (Генадий Яковлевич), Синяков (Арон Залманович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.