Номер 10, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Авторы: Мякишев Г. Я., Синяков А. З.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: белый колесо обозрения, статор и ротор изображены
ISBN: 978-5-09-087885-2
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнение 6. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 10, страница 149.
№10 (с. 149)
Условие. №10 (с. 149)
скриншот условия


10. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения $v_0 = 5 \text{ м/с}$ на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что её скорость относительно воды постоянна, равна по модулю $u = 10 \text{ м/с}$ и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки $d = 100 \text{ м}$. Определите траекторию лодки.
Решение. №10 (с. 149)
Дано
$v_0 = 5$ м/с
$u = 10$ м/с
$d = 100$ м
Найти:
$L$ - расстояние сноса лодки
$x(y)$ - уравнение траектории лодки
Решение
Введем систему координат. Пусть ось $Y$ направлена перпендикулярно берегу (от одного берега к другому), а ось $X$ — вдоль берега по направлению течения. Начало координат $(0,0)$ находится в точке старта лодки.
Скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{абс}$ является векторной суммой скорости лодки относительно воды $\vec{u}$ и скорости течения $\vec{v}_{теч}$: $\vec{v}_{абс} = \vec{u} + \vec{v}_{теч}$.
В нашей системе координат:
- Скорость лодки относительно воды направлена вдоль оси $Y$: $\vec{u} = (0, u)$.
- Скорость течения направлена вдоль оси $X$ и зависит от расстояния от берега $y$: $\vec{v}_{теч} = (v_x(y), 0)$.
Таким образом, компоненты абсолютной скорости лодки равны:
$v_y = u = 10$ м/с
$v_x = v_{теч}(y)$
По условию, скорость течения пропорциональна расстоянию от ближайшего берега. На середине реки, при $y = d/2$, скорость максимальна и равна $v_0$. У берегов ($y=0$ и $y=d$) скорость равна нулю. Это означает, что профиль скорости течения представляет собой два линейных участка.
1. На первой половине реки ($0 \le y \le d/2$):
Скорость пропорциональна расстоянию $y$ от начального берега: $v_x(y) = k \cdot y$.
Используем известное значение на середине реки: $v_0 = k \cdot (d/2)$, откуда находим коэффициент пропорциональности $k = \frac{2v_0}{d}$.
Тогда $v_x(y) = \frac{2v_0}{d} y$ для $0 \le y \le d/2$.
2. На второй половине реки ($d/2 \le y \le d$):
Скорость пропорциональна расстоянию от конечного берега, которое равно $(d-y)$: $v_x(y) = k \cdot (d-y) = \frac{2v_0}{d} (d-y)$.
1. Нахождение расстояния сноса $L$
Движение поперек реки (вдоль оси $Y$) происходит с постоянной скоростью $u$. Время, за которое лодка пересечет реку, равно:
$T = \frac{d}{u} = \frac{100 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 10$ с.
За это время лодку сносит течением на расстояние $L$. Так как скорость течения $v_x$ меняется, для нахождения $L$ необходимо проинтегрировать скорость по времени:
$L = \int_0^T v_x(t) dt$.
Удобнее перейти от интегрирования по времени к интегрированию по координате $y$. Так как $y = u \cdot t$, то $t = y/u$ и $dt = dy/u$. Когда $t$ меняется от $0$ до $T$, координата $y$ меняется от $0$ до $d$.
$L = \int_0^d v_x(y) \frac{dy}{u} = \frac{1}{u} \int_0^d v_x(y) dy$.
Интеграл $\int_0^d v_x(y) dy$ представляет собой площадь под графиком зависимости $v_x(y)$. Этот график — треугольник с основанием $d$ и высотой $v_0$.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} d v_0$.
Тогда расстояние сноса:
$L = \frac{1}{u} \cdot (\frac{1}{2} d v_0) = \frac{d v_0}{2u}$.
Подставляем числовые значения:
$L = \frac{100 \text{ м} \cdot 5 \text{ м/с}}{2 \cdot 10 \text{ м/с}} = \frac{500}{20} \text{ м} = 25$ м.
Ответ: Расстояние, на которое будет снесена лодка, равно 25 м.
2. Определение траектории лодки
Траектория — это зависимость $x(y)$. Найдем ее из соотношения скоростей:
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{v_x(y)}{v_y} = \frac{v_x(y)}{u}$.
Отсюда $dx = \frac{v_x(y)}{u} dy$. Интегрируя, получаем $x(y) = \int_0^y \frac{v_x(y')}{u} dy'$.
Рассмотрим два участка.
а) Для первой половины пути ($0 \le y \le d/2 = 50$ м):
$x(y) = \int_0^y \frac{1}{u} \left(\frac{2v_0}{d} y'\right) dy' = \frac{2v_0}{ud} \int_0^y y' dy' = \frac{2v_0}{ud} \frac{y^2}{2} = \frac{v_0}{ud} y^2$.
Подставляя значения: $x(y) = \frac{5}{10 \cdot 100} y^2 = 0.005 y^2$.
Это уравнение параболы.
б) Для второй половины пути ($d/2 < y \le d$, или $50 < y \le 100$ м):
$x(y) = x(d/2) + \int_{d/2}^y \frac{v_x(y')}{u} dy' = x(d/2) + \int_{d/2}^y \frac{1}{u} \left(\frac{2v_0}{d}(d-y')\right) dy'$.
Снос на середине реки: $x(d/2) = \frac{v_0}{ud} (\frac{d}{2})^2 = \frac{v_0d}{4u} = \frac{5 \cdot 100}{4 \cdot 10} = 12.5$ м.
$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \int_{d/2}^y (d-y') dy' = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left[ dy' - \frac{y'^2}{2} \right]_{d/2}^y$
$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left( (dy - \frac{y^2}{2}) - (d\frac{d}{2} - \frac{(d/2)^2}{2}) \right) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left( dy - \frac{y^2}{2} - \frac{3d^2}{8} \right)$
$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{u}y - \frac{v_0}{ud}y^2 - \frac{3v_0d}{4u} = -\frac{v_0}{ud}y^2 + \frac{2v_0}{u}y - \frac{v_0d}{2u}$.
Подставляя значения: $x(y) = -0.005y^2 + \frac{2 \cdot 5}{10}y - \frac{5 \cdot 100}{2 \cdot 10} = -0.005y^2 + y - 25$.
Это также уравнение параболы, но с ветвями, направленными в противоположную сторону по оси $x$.
Таким образом, траектория лодки состоит из двух сопряженных параболических дуг.
Ответ: Траектория лодки описывается системой уравнений (где $x$ и $y$ в метрах):
$x(y) = \begin{cases} 0.005 y^2, & \text{при } 0 \le y \le 50 \\ -0.005y^2 + y - 25, & \text{при } 50 < y \le 100\end{cases}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10 класс, для упражнения номер 10 расположенного на странице 149 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №10 (с. 149), авторов: Мякишев (Генадий Яковлевич), Синяков (Арон Залманович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.