Номер 10, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 10, страница 149.

Условие.

10. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения $v_0 = 5 \text{ м/с}$ на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что её скорость относительно воды постоянна, равна по модулю $u = 10 \text{ м/с}$ и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки $d = 100 \text{ м}$. Определите траекторию лодки.

Решение.

Дано

$v_0 = 5$ м/с

$u = 10$ м/с

$d = 100$ м

Найти:

$L$ - расстояние сноса лодки

$x(y)$ - уравнение траектории лодки

Решение

Введем систему координат. Пусть ось $Y$ направлена перпендикулярно берегу (от одного берега к другому), а ось $X$ — вдоль берега по направлению течения. Начало координат $(0,0)$ находится в точке старта лодки.

Скорость лодки относительно берега $\vec{v}_{абс}$ является векторной суммой скорости лодки относительно воды $\vec{u}$ и скорости течения $\vec{v}_{теч}$: $\vec{v}_{абс} = \vec{u} + \vec{v}_{теч}$.

В нашей системе координат:

• Скорость лодки относительно воды направлена вдоль оси $Y$: $\vec{u} = (0, u)$.
• Скорость течения направлена вдоль оси $X$ и зависит от расстояния от берега $y$: $\vec{v}_{теч} = (v_x(y), 0)$.

Таким образом, компоненты абсолютной скорости лодки равны:

$v_y = u = 10$ м/с

$v_x = v_{теч}(y)$

По условию, скорость течения пропорциональна расстоянию от ближайшего берега. На середине реки, при $y = d/2$, скорость максимальна и равна $v_0$. У берегов ($y=0$ и $y=d$) скорость равна нулю. Это означает, что профиль скорости течения представляет собой два линейных участка.

1. На первой половине реки ($0 \le y \le d/2$):

Скорость пропорциональна расстоянию $y$ от начального берега: $v_x(y) = k \cdot y$.

Используем известное значение на середине реки: $v_0 = k \cdot (d/2)$, откуда находим коэффициент пропорциональности $k = \frac{2v_0}{d}$.

Тогда $v_x(y) = \frac{2v_0}{d} y$ для $0 \le y \le d/2$.

2. На второй половине реки ($d/2 \le y \le d$):

Скорость пропорциональна расстоянию от конечного берега, которое равно $(d-y)$: $v_x(y) = k \cdot (d-y) = \frac{2v_0}{d} (d-y)$.

1. Нахождение расстояния сноса $L$

Движение поперек реки (вдоль оси $Y$) происходит с постоянной скоростью $u$. Время, за которое лодка пересечет реку, равно:

$T = \frac{d}{u} = \frac{100 \text{ м}}{10 \text{ м/с}} = 10$ с.

За это время лодку сносит течением на расстояние $L$. Так как скорость течения $v_x$ меняется, для нахождения $L$ необходимо проинтегрировать скорость по времени:

$L = \int_0^T v_x(t) dt$.

Удобнее перейти от интегрирования по времени к интегрированию по координате $y$. Так как $y = u \cdot t$, то $t = y/u$ и $dt = dy/u$. Когда $t$ меняется от $0$ до $T$, координата $y$ меняется от $0$ до $d$.

$L = \int_0^d v_x(y) \frac{dy}{u} = \frac{1}{u} \int_0^d v_x(y) dy$.

Интеграл $\int_0^d v_x(y) dy$ представляет собой площадь под графиком зависимости $v_x(y)$. Этот график — треугольник с основанием $d$ и высотой $v_0$.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} d v_0$.

Тогда расстояние сноса:

$L = \frac{1}{u} \cdot (\frac{1}{2} d v_0) = \frac{d v_0}{2u}$.

Подставляем числовые значения:

$L = \frac{100 \text{ м} \cdot 5 \text{ м/с}}{2 \cdot 10 \text{ м/с}} = \frac{500}{20} \text{ м} = 25$ м.

Ответ: Расстояние, на которое будет снесена лодка, равно 25 м.

2. Определение траектории лодки

Траектория — это зависимость $x(y)$. Найдем ее из соотношения скоростей:

$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt} = \frac{v_x(y)}{v_y} = \frac{v_x(y)}{u}$.

Отсюда $dx = \frac{v_x(y)}{u} dy$. Интегрируя, получаем $x(y) = \int_0^y \frac{v_x(y')}{u} dy'$.

Рассмотрим два участка.

а) Для первой половины пути ($0 \le y \le d/2 = 50$ м):

$x(y) = \int_0^y \frac{1}{u} \left(\frac{2v_0}{d} y'\right) dy' = \frac{2v_0}{ud} \int_0^y y' dy' = \frac{2v_0}{ud} \frac{y^2}{2} = \frac{v_0}{ud} y^2$.

Подставляя значения: $x(y) = \frac{5}{10 \cdot 100} y^2 = 0.005 y^2$.

Это уравнение параболы.

б) Для второй половины пути ($d/2 < y \le d$, или $50 < y \le 100$ м):

$x(y) = x(d/2) + \int_{d/2}^y \frac{v_x(y')}{u} dy' = x(d/2) + \int_{d/2}^y \frac{1}{u} \left(\frac{2v_0}{d}(d-y')\right) dy'$.

Снос на середине реки: $x(d/2) = \frac{v_0}{ud} (\frac{d}{2})^2 = \frac{v_0d}{4u} = \frac{5 \cdot 100}{4 \cdot 10} = 12.5$ м.

$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \int_{d/2}^y (d-y') dy' = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left[ dy' - \frac{y'^2}{2} \right]_{d/2}^y$

$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left( (dy - \frac{y^2}{2}) - (d\frac{d}{2} - \frac{(d/2)^2}{2}) \right) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{ud} \left( dy - \frac{y^2}{2} - \frac{3d^2}{8} \right)$

$x(y) = \frac{v_0d}{4u} + \frac{2v_0}{u}y - \frac{v_0}{ud}y^2 - \frac{3v_0d}{4u} = -\frac{v_0}{ud}y^2 + \frac{2v_0}{u}y - \frac{v_0d}{2u}$.

Подставляя значения: $x(y) = -0.005y^2 + \frac{2 \cdot 5}{10}y - \frac{5 \cdot 100}{2 \cdot 10} = -0.005y^2 + y - 25$.

Это также уравнение параболы, но с ветвями, направленными в противоположную сторону по оси $x$.

Таким образом, траектория лодки состоит из двух сопряженных параболических дуг.

Ответ: Траектория лодки описывается системой уравнений (где $x$ и $y$ в метрах):

$x(y) = \begin{cases} 0.005 y^2, & \text{при } 0 \le y \le 50 \\ -0.005y^2 + y - 25, & \text{при } 50 < y \le 100\end{cases}$