Номер 8, страница 149 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 6. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 8, страница 149.

Условие.

8. Человек спускается по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек. Во второй раз, двигаясь со скоростью вдвое большей, он насчитал 75 ступенек. В какую сторону движется эскалатор? Сколько ступенек насчитает человек, спускаясь по неподвижному эскалатору?

Решение.

Дано:

$n_1 = 50$ ступенек – число ступенек, которые насчитал человек в первый раз.

$n_2 = 75$ ступенек – число ступенек, которые насчитал человек во второй раз.

Пусть скорость человека относительно эскалатора в первом случае равна $v_ч$.

Тогда скорость человека относительно эскалатора во втором случае равна $2v_ч$.

Найти:

1. Направление движения эскалатора.

2. $N$ – число ступенек на неподвижном эскалаторе.

Решение:

Введем обозначения:

$N$ – общее число видимых ступенек на неподвижном эскалаторе.

$v_ч$ – скорость человека относительно ступенек эскалатора (в ступеньках/с) в первом случае.

$v_э$ – скорость эскалатора относительно земли (в ступеньках/с).

В какую сторону движется эскалатор?

Рассмотрим два возможных случая движения эскалатора.

Случай 1: Эскалатор движется вниз, в том же направлении, что и человек.

Скорость человека относительно земли будет суммой скоростей: $v_{отн} = v_ч + v_э$.

Время, за которое человек спускается, равно $t = \frac{N}{v_{отн}} = \frac{N}{v_ч + v_э}$.

За это время человек проходит $n$ ступенек со своей скоростью $v_ч$: $n = v_ч \cdot t$.

Подставим выражение для времени: $n = v_ч \frac{N}{v_ч + v_э}$.

Применим эту формулу для двух ситуаций, описанных в задаче:

Для первого случая: $n_1=50$, скорость человека $v_ч$.

$50 = v_ч \frac{N}{v_ч + v_э}$

Для второго случая: $n_2=75$, скорость человека $2v_ч$.

$75 = 2v_ч \frac{N}{2v_ч + v_э}$

Преобразуем уравнения:

1) $50(v_ч + v_э) = N v_ч \implies 50(1 + \frac{v_э}{v_ч}) = N$

2) $75(2v_ч + v_э) = 2N v_ч \implies 75(2 + \frac{v_э}{v_ч}) = 2N$

Подставим выражение для $N$ из первого уравнения во второе:

$75(2 + \frac{v_э}{v_ч}) = 2 \cdot 50(1 + \frac{v_э}{v_ч})$

Разделим обе части на 25:

$3(2 + \frac{v_э}{v_ч}) = 4(1 + \frac{v_э}{v_ч})$

Пусть $k = \frac{v_э}{v_ч}$ (отношение скоростей):

$3(2 + k) = 4(1 + k)$

$6 + 3k = 4 + 4k$

$k = 2$

Так как отношение скоростей $k$ получилось положительным ($k > 0$), это означает, что скорости $v_ч$ и $v_э$ сонаправлены. Наше предположение было верным.

Для проверки можно рассмотреть Случай 2, когда эскалатор движется вверх. Тогда скорость человека относительно земли будет $v_{отн} = v_ч - v_э$, а формула для числа ступенек $n = v_ч \frac{N}{v_ч - v_э}$. Решение аналогичной системы уравнений привело бы к отрицательному значению для отношения скоростей, что физически невозможно.

Ответ: Эскалатор движется вниз, в ту же сторону, что и человек.

Сколько ступенек насчитает человек, спускаясь по неподвижному эскалатору?

Это вопрос о нахождении полного числа ступенек $N$. Мы можем использовать найденное значение $k=2$ и подставить его в любое из ранее полученных уравнений для $N$.

Воспользуемся первым уравнением: $N = 50(1 + \frac{v_э}{v_ч}) = 50(1+k)$.

$N = 50(1 + 2) = 50 \cdot 3 = 150$

Проверим результат по второму уравнению: $2N = 75(2+k)$.

$2N = 75(2+2) = 75 \cdot 4 = 300 \implies N = 150$.

Результаты совпадают. Таким образом, полное число ступенек на эскалаторе равно 150.

Ответ: Спускаясь по неподвижному эскалатору, человек насчитает 150 ступенек.