Номер 15, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 15, страница 151.

Условие.

15. Человек на лодке должен попасть из точки A в точку B, находящуюся на противоположном берегу реки (рис. 1.106). Расстояние $BC = a$. Ширина реки $AC = b$. С какой наименьшей скоростью $\text{u}$ относительно воды должна плыть лодка, чтобы попасть в точку B? Скорость течения реки постоянна и равна $\text{v}$.

Рис. 1.106

Решение.

Дано:

Расстояние $BC = a$

Ширина реки $AC = b$

Скорость течения реки = $v$

Скорость лодки относительно воды = $u$

Найти:

Наименьшую скорость $u_{min}$

Решение:

Движение лодки относительно берега является результатом сложения двух скоростей: скорости лодки относительно воды ($\vec{u}$) и скорости воды относительно берега, то есть скорости течения ($\vec{v}$). Абсолютная скорость лодки ($\vec{V}_{абс}$) равна векторной сумме этих скоростей:

$\vec{V}_{абс} = \vec{u} + \vec{v}$

Чтобы лодка попала из точки А в точку В, вектор ее абсолютной скорости $\vec{V}_{абс}$ должен быть направлен вдоль прямой AB.

Из соотношения скоростей можно выразить скорость лодки относительно воды: $\vec{u} = \vec{V}_{абс} - \vec{v}$.

Построим векторный треугольник для этих скоростей. Вектор $\vec{v}$ направлен вдоль берега. Вектор $\vec{V}_{абс}$ направлен под некоторым углом $\phi$ к направлению течения. Вектор $\vec{u}$ замыкает треугольник.

Длина вектора $\vec{u}$ (модуль скорости $u$) будет наименьшей, когда этот вектор будет перпендикулярен вектору $\vec{V}_{абс}$. В этом случае векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{V}_{абс}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $\vec{v}$ является гипотенузой, а $\vec{u}$ и $\vec{V}_{абс}$ — катетами.

В этом прямоугольном треугольнике скоростей, где угол между $\vec{v}$ и $\vec{V}_{абс}$ равен $\phi$, модуль скорости $u_{min}$ будет равен:

$u_{min} = v \cdot \sin\phi$

Угол $\phi$ — это угол между направлением абсолютной скорости (линия AB) и направлением течения (линия AC, продолженная вдоль берега). Этот угол мы можем найти из геометрии задачи, рассмотрев прямоугольный треугольник ABC.

В треугольнике ABC катет $AC=b$ (ширина реки) и катет $BC=a$ (расстояние вдоль берега). Гипотенуза $AB = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Синус угла $\phi$ (угол при вершине B, который равен углу между AB и направлением течения) определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin\phi = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Подставим это выражение для синуса в формулу для наименьшей скорости:

$u_{min} = v \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Это и есть минимальная скорость, с которой должна плыть лодка относительно воды, чтобы попасть в точку B.

Ответ: $u_{min} = v \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$