Номер 14, страница 150 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.31. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 14, страница 150.

Условие.

14. Шоссейные дороги пересекаются под прямым углом. По дорогам движутся автомобили со скоростями $ \vec{v_1} $ и $ \vec{v_2} $ в направлении к перекрёстку ($ v_1 > v_2 $). В некоторый момент времени расстояние обоих автомобилей до перекрёстка было одинаковым и равным $\text{l}$. На каком наименьшем расстоянии $\text{d}$ автомобили прошли относительно друг друга?

Решение.

Дано:

Скорость первого автомобиля: $v_1$

Скорость второго автомобиля: $v_2$

Начальное расстояние до перекрестка для обоих автомобилей: $l$

Угол между дорогами: $90^\circ$

Условие: $v_1 > v_2$

Найти:

Наименьшее расстояние между автомобилями: $d$

Решение:

Введем систему координат, в которой перекресток находится в начале координат (0, 0). Пусть одна дорога совпадает с осью Ox, а другая — с осью Oy. В начальный момент времени ($t=0$) оба автомобиля находятся на расстоянии $l$ от перекрестка. Разместим первый автомобиль на оси Ox, а второй — на оси Oy. Поскольку они движутся к перекрестку, их начальные координаты и векторы скоростей будут:

Первый автомобиль: начальная координата $x_1(0)=l$, $y_1(0)=0$; вектор скорости $\vec{v}_1 = (-v_1, 0)$.

Второй автомобиль: начальная координата $x_2(0)=0$, $y_2(0)=l$; вектор скорости $\vec{v}_2 = (0, -v_2)$.

В произвольный момент времени $t$ координаты автомобилей будут:

$x_1(t) = l - v_1 t$

$y_1(t) = 0$

$x_2(t) = 0$

$y_2(t) = l - v_2 t$

Квадрат расстояния $s^2$ между автомобилями в момент времени $t$ можно найти по теореме Пифагора:

$s^2(t) = (x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2$

$s^2(t) = (l - v_1 t - 0)^2 + (0 - (l - v_2 t))^2$

$s^2(t) = (l - v_1 t)^2 + (v_2 t - l)^2$

Расстояние $s(t)$ будет минимальным, когда его квадрат $s^2(t)$ будет минимальным. Чтобы найти минимум функции $s^2(t)$, найдем ее производную по времени $t$ и приравняем к нулю.

Раскроем скобки в выражении для $s^2(t)$:

$s^2(t) = (l^2 - 2lv_1 t + v_1^2 t^2) + (v_2^2 t^2 - 2lv_2 t + l^2)$

$s^2(t) = (v_1^2 + v_2^2)t^2 - 2l(v_1 + v_2)t + 2l^2$

Это квадратичная функция относительно $t$. Возьмем производную:

$\frac{d(s^2)}{dt} = 2(v_1^2 + v_2^2)t - 2l(v_1 + v_2)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти время $t_{min}$, в которое расстояние будет наименьшим:

$2(v_1^2 + v_2^2)t_{min} - 2l(v_1 + v_2) = 0$

$t_{min} = \frac{l(v_1 + v_2)}{v_1^2 + v_2^2}$

Теперь подставим найденное значение $t_{min}$ в выражение для $s^2(t)$, чтобы найти квадрат минимального расстояния $d^2$:

$d^2 = s^2(t_{min}) = (l - v_1 t_{min})^2 + (l - v_2 t_{min})^2$

Вычислим значения в скобках:

$l - v_1 t_{min} = l - v_1 \frac{l(v_1 + v_2)}{v_1^2 + v_2^2} = l \left(1 - \frac{v_1^2 + v_1 v_2}{v_1^2 + v_2^2}\right) = l \frac{v_1^2 + v_2^2 - v_1^2 - v_1 v_2}{v_1^2 + v_2^2} = l \frac{v_2^2 - v_1 v_2}{v_1^2 + v_2^2} = \frac{l v_2(v_2 - v_1)}{v_1^2 + v_2^2}$

$l - v_2 t_{min} = l - v_2 \frac{l(v_1 + v_2)}{v_1^2 + v_2^2} = l \left(1 - \frac{v_1 v_2 + v_2^2}{v_1^2 + v_2^2}\right) = l \frac{v_1^2 + v_2^2 - v_1 v_2 - v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} = l \frac{v_1^2 - v_1 v_2}{v_1^2 + v_2^2} = \frac{l v_1(v_1 - v_2)}{v_1^2 + v_2^2}$

Подставим эти выражения в формулу для $d^2$:

$d^2 = \left(\frac{l v_2(v_2 - v_1)}{v_1^2 + v_2^2}\right)^2 + \left(\frac{l v_1(v_1 - v_2)}{v_1^2 + v_2^2}\right)^2$

Поскольку $(v_2 - v_1)^2 = (v_1 - v_2)^2$, мы можем вынести общий множитель:

$d^2 = \frac{l^2 (v_1 - v_2)^2}{(v_1^2 + v_2^2)^2} (v_2^2 + v_1^2) = \frac{l^2 (v_1 - v_2)^2}{v_1^2 + v_2^2}$

Извлекая квадратный корень, находим наименьшее расстояние $d$:

$d = \sqrt{\frac{l^2 (v_1 - v_2)^2}{v_1^2 + v_2^2}} = \frac{l |v_1 - v_2|}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$

Так как по условию $v_1 > v_2$, то $|v_1 - v_2| = v_1 - v_2$.

$d = \frac{l(v_1 - v_2)}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$

Ответ: $d = l \frac{v_1 - v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$