Номер 13, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 5. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 13, страница 131.

Условие.

13. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением $\beta = 0,04 \text{ рад/с}^2$. Через какое время вектор её ускорения будет составлять с вектором скорости угол $\alpha = 45^\circ$?

Решение.

Дано:

Угловое ускорение $\beta = 0,04 \text{ рад/с}^2$

Начальная угловая скорость $\omega_0 = 0 \text{ рад/с}$ (так как точка начинает обращаться)

Угол между векторами полного ускорения и скорости $\alpha = 45°$

Найти:

Время $t$ — ?

Решение:

При движении тела по окружности с угловым ускорением его полное ускорение $\vec{a}$ складывается из двух компонент: тангенциального (касательного) ускорения $\vec{a}_{\tau}$ и нормального (центростремительного) ускорения $\vec{a}_{n}$.

$\vec{a} = \vec{a}_{\tau} + \vec{a}_{n}$

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и направлено по касательной к траектории. Его модуль равен:

$a_{\tau} = \beta R$, где $R$ — радиус окружности.

Нормальное ускорение отвечает за изменение направления скорости и направлено к центру окружности. Его модуль равен:

$a_{n} = \omega^2 R$, где $\omega$ — мгновенная угловая скорость.

Вектор скорости $\vec{v}$ также направлен по касательной к окружности, поэтому он сонаправлен с вектором тангенциального ускорения $\vec{a}_{\tau}$. Вектор нормального ускорения $\vec{a}_{n}$ перпендикулярен вектору скорости $\vec{v}$.

Таким образом, угол $\alpha$ между вектором полного ускорения $\vec{a}$ и вектором скорости $\vec{v}$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного векторами $\vec{a}_{\tau}$, $\vec{a}_{n}$ и $\vec{a}$.

$\tan(\alpha) = \frac{a_{n}}{a_{\tau}}$

Поскольку движение начинается из состояния покоя ($\omega_0=0$) с постоянным угловым ускорением $\beta$, зависимость угловой скорости от времени описывается формулой:

$\omega = \omega_0 + \beta t = \beta t$

Подставим выражения для $a_{\tau}$, $a_{n}$ и $\omega$ в формулу для тангенса угла:

$\tan(\alpha) = \frac{\omega^2 R}{\beta R} = \frac{(\beta t)^2 R}{\beta R} = \frac{\beta^2 t^2 R}{\beta R}$

Сократив $R$ и $\beta$, получим:

$\tan(\alpha) = \beta t^2$

Из этого выражения найдем время $t$:

$t^2 = \frac{\tan(\alpha)}{\beta}$

$t = \sqrt{\frac{\tan(\alpha)}{\beta}}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $\alpha = 45°$ и $\beta = 0,04 \text{ рад/с}^2$. Учтём, что $\tan(45°) = 1$.

$t = \sqrt{\frac{1}{0,04}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5 \text{ с}$

Ответ: через $5 \text{ с}$ вектор ускорения будет составлять с вектором скорости угол $45°$.