Номер 8, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 5. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 8, страница 130.

Условие.

8. Поезд въезжает на закруглённый участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю.

Решение.

Дано:

Начальная скорость $v_0 = 54$ км/ч

Путь $s = 600$ м

Время $t = 30$ с

Радиус закругления $R = 1$ км

Тангенциальное ускорение $a_{\tau} = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15$ м/с

$R = 1 \text{ км} = 1000$ м

Найти:

$v$ - модуль скорости в конце пути

$a$ - полное ускорение в конце пути

Решение:

модуль скорости

Поскольку тангенциальное ускорение постоянно по модулю, движение поезда на закругленном участке является равноускоренным. Для нахождения тангенциального ускорения $a_{\tau}$ воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении: $s = v_0 t + \frac{a_{\tau}t^2}{2}$.

Выразим из этой формулы тангенциальное ускорение:

$a_{\tau} = \frac{2(s - v_0 t)}{t^2}$

Подставим числовые значения:

$a_{\tau} = \frac{2(600 \text{ м} - 15 \text{ м/с} \cdot 30 \text{ с})}{(30 \text{ с})^2} = \frac{2(600 - 450)}{900} = \frac{300}{900} = \frac{1}{3} \text{ м/с}^2$.

Теперь найдем модуль скорости поезда в конце пути, используя формулу для конечной скорости при равноускоренном движении:

$v = v_0 + a_{\tau} t$

$v = 15 \text{ м/с} + \frac{1}{3} \text{ м/с}^2 \cdot 30 \text{ с} = 15 + 10 = 25 \text{ м/с}$.

Ответ: модуль скорости поезда в конце пути равен $25 \text{ м/с}$.

полное ускорение

Полное ускорение $a$ является векторной суммой тангенциального ($a_{\tau}$) и нормального ($a_n$) ускорений. Так как эти векторы перпендикулярны, модуль полного ускорения находится по теореме Пифагора:

$a = \sqrt{a_{\tau}^2 + a_n^2}$

Тангенциальное ускорение мы уже вычислили: $a_{\tau} = \frac{1}{3} \text{ м/с}^2$.

Найдем нормальное (центростремительное) ускорение в конце пути. Оно зависит от конечной скорости $v$ и радиуса кривизны $R$:

$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(25 \text{ м/с})^2}{1000 \text{ м}} = \frac{625}{1000} = 0.625 \text{ м/с}^2$.

Теперь рассчитаем модуль полного ускорения:

$a = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (0.625)^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + (\frac{5}{8})^2} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{25}{64}} = \sqrt{\frac{64 \cdot 1 + 9 \cdot 25}{576}} = \sqrt{\frac{64 + 225}{576}} = \sqrt{\frac{289}{576}} = \frac{17}{24} \text{ м/с}^2$.

Ответ: полное ускорение поезда в конце пути равно $\frac{17}{24} \text{ м/с}^2$ (приблизительно $0.71 \text{ м/с}^2$).