Номер 5, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 5. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 5, страница 130.

Условие.

5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус $\text{R}$. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

Решение.

Дано:

Радиус сферического резервуара: $R$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Наименьшую начальную скорость камня: $v_{min}$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Решение:

Введем систему координат с началом в точке броска камня. Ось $Ox$ направим горизонтально, а ось $Oy$ – вертикально вверх. Движение камня, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, в поле тяжести Земли (без учета сопротивления воздуха) описывается следующими уравнениями:

Координата по горизонтали: $x(t) = (v_0 \cos\alpha) t$

Координата по вертикали: $y(t) = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Резервуар является сферой радиусом $R$, стоящей на земле, поэтому его высшая точка (вершина) находится на высоте $H = 2R$. Условие "перелететь через резервуар, коснувшись его вершины" означает, что траектория камня должна быть касательной к сфере в ее верхней точке. Так как в этой точке касательная к сфере горизонтальна, вершина параболической траектории камня должна совпадать с вершиной резервуара.

Пусть горизонтальное расстояние от точки броска до вертикальной оси, проходящей через центр резервуара, равно $x_c$. Тогда координаты вершины траектории камня должны быть $(x_c, 2R)$.

Общие формулы для координат вершины параболической траектории:

$x_{верш} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{2g}$

$y_{верш} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Приравняв эти выражения к координатам вершины резервуара, получаем систему из двух уравнений:

1) $x_c = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{2g}$

2) $2R = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

Из второго уравнения выразим квадрат начальной скорости $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{4gR}{\sin^2\alpha}$

Чтобы найти наименьшую скорость $v_0$, нам необходимо максимизировать значение $\sin^2\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение для $v_0^2$ в первое уравнение, чтобы найти зависимость между расстоянием $x_c$ и углом броска $\alpha$:

$x_c = \left(\frac{4gR}{\sin^2\alpha}\right) \frac{\sin(2\alpha)}{2g} = \frac{4gR}{\sin^2\alpha} \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2g} = \frac{4R\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4R \cot\alpha$

Камень бросают с поверхности Земли, поэтому точка броска не может находиться под резервуаром. Основание резервуара — это круг радиусом $R$. Следовательно, расстояние от точки броска до центра основания должно быть не меньше радиуса резервуара, то есть $x_c \ge R$.

Применяя это физическое ограничение, получаем неравенство для угла $\alpha$:

$4R \cot\alpha \ge R \implies \cot\alpha \ge \frac{1}{4}$

Для нахождения минимальной скорости $v_0$ нам нужно максимизировать $\sin^2\alpha$. В интервале углов $\alpha \in (0, \pi/2)$ функция $\sin^2\alpha$ возрастает, а функция $\cot\alpha$ убывает. Таким образом, максимальное значение $\sin^2\alpha$ будет достигнуто при минимально возможном значении $\cot\alpha$, которое, согласно нашему ограничению, равно $1/4$.

Это условие ($\cot\alpha = 1/4$) соответствует броску с минимально возможного расстояния, то есть с края основания резервуара ($x_c = R$). Именно в этом случае начальная скорость будет наименьшей.

При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины?

Для нахождения скорости воспользуемся выражением $v_0^2 = \frac{4gR}{\sin^2\alpha}$ и найденным условием $\cot\alpha = 1/4$. Найдем $\sin^2\alpha$ через тригонометрическое тождество $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$:

$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

Отсюда следует, что $\sin^2\alpha = \frac{16}{17}$.

Теперь подставляем это значение в формулу для квадрата скорости:

$v_{min}^2 = \frac{4gR}{16/17} = \frac{4gR \cdot 17}{16} = \frac{17gR}{4}$

Таким образом, наименьшая скорость равна:

$v_{min} = \sqrt{\frac{17gR}{4}} = \frac{\sqrt{17gR}}{2}$

Ответ: $v_{min} = \frac{\sqrt{17gR}}{2}$

Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

Угол, соответствующий наименьшей начальной скорости, определяется условием, которое мы нашли ранее:

$\cot\alpha = \frac{1}{4}$

Это эквивалентно:

$\tan\alpha = 4$

Следовательно, угол броска равен:

$\alpha = \arctan(4)$

(Это примерно $75.96^\circ$)

Ответ: $\alpha = \arctan(4)$