Номер 6, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 5. Параграф 1.28. Угловая скорость и угловое ускорение. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 6, страница 130.

Условие.

6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом $\text{r}$. Полотно дороги составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью $\text{v}$.

Решение.

Дано:

$r$ – радиус цилиндра

$\alpha$ – угол наклона дороги к горизонтальной плоскости

$v$ – модуль скорости автомобиля ($v = \text{const}$)

Найти:

$a$ – модуль ускорения автомобиля

Решение:

Автомобиль движется по винтовой линии с постоянной по модулю скоростью $v$. Поскольку модуль скорости не меняется, тангенциальное ускорение, отвечающее за изменение величины скорости, равно нулю ($a_{\tau} = 0$).

Однако траектория движения является криволинейной, поэтому у автомобиля есть нормальное (центростремительное) ускорение $a_n$, которое отвечает за изменение направления вектора скорости. В данном случае полное ускорение автомобиля будет равно нормальному ускорению: $a = a_n$.

Рассмотрим движение автомобиля в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси. Вектор скорости $\vec{v}$ составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью. Разложим его на две составляющие:

1. Горизонтальная составляющая скорости $v_г$, направленная по касательной к окружности основания цилиндра.

2. Вертикальная составляющая скорости $v_в$, направленная вдоль оси цилиндра.

Из прямоугольного треугольника скоростей находим:

$v_г = v \cos\alpha$

$v_в = v \sin\alpha$

Поскольку $v$ и $\alpha$ постоянны, то и $v_г$, и $v_в$ также являются постоянными величинами.

Вертикальное движение происходит с постоянной скоростью $v_в$, поэтому вертикальная составляющая ускорения равна нулю ($a_в = 0$).

Горизонтальная проекция движения автомобиля представляет собой равномерное движение по окружности радиусом $r$ со скоростью $v_г$. При таком движении возникает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности (к оси цилиндра). Модуль этого ускорения $a_г$ равен:

$a_г = \frac{v_г^2}{r}$

Подставим выражение для $v_г$:

$a_г = \frac{(v \cos\alpha)^2}{r} = \frac{v^2 \cos^2\alpha}{r}$

Полное ускорение автомобиля $\vec{a}$ является векторной суммой его горизонтальной и вертикальной составляющих: $\vec{a} = \vec{a_г} + \vec{a_в}$.

Так как $a_в = 0$, то полное ускорение равно его горизонтальной составляющей: $\vec{a} = \vec{a_г}$.

Следовательно, модуль полного ускорения равен модулю горизонтальной составляющей ускорения:

$a = a_г = \frac{v^2 \cos^2\alpha}{r}$

Это ускорение является нормальным (центростремительным), так как оно перпендикулярно вектору скорости $\vec{v}$.

Ответ: Модуль ускорения автомобиля равен $a = \frac{v^2 \cos^2\alpha}{r}$.