Номер 11, страница 118 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 4. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Кинематика - номер 11, страница 118.

Условие.

11. Из шланга, лежащего на земле, бьёт под углом $30^{\circ}$ к горизонту вода с начальной скоростью $10 \text{ м/с}$. Площадь сечения отверстия шланга равна $2 \text{ см}^2$. Определите массу струи, находящейся в воздухе. Плотность воды $1000 \text{ кг/м}^3$.

Решение.

Дано:

Угол к горизонту $α = 30°$

Начальная скорость воды $v_0 = 10$ м/с

Площадь сечения отверстия $S = 2$ см²

Плотность воды $ρ = 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Массу струи, находящейся в воздухе, $m - ?$

Решение:

Масса струи воды, которая в данный момент находится в воздухе, равна произведению плотности воды $ρ$ на объем этой струи $V$.

$m = ρ \cdot V$

Объем всей струи в воздухе можно найти как произведение объемного расхода воды $Q$ (объем воды, вытекающий в секунду) на полное время полета струи $t_{пол}$.

$V = Q \cdot t_{пол}$

Объемный расход воды равен произведению площади сечения отверстия шланга $S$ на скорость истечения воды $v_0$.

$Q = S \cdot v_0$

Время полета тела, брошенного под углом к горизонту с поверхности земли ($y_0 = 0$) до его возвращения на землю ($y = 0$), можно найти из уравнения для вертикальной координаты:

$y(t) = (v_0 \sin(α)) t - \frac{gt^2}{2}$

Приравнивая $y(t)$ к нулю, находим время полета $t_{пол}$:

$(v_0 \sin(α)) t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2} = 0$

$t_{пол} \left( v_0 \sin(α) - \frac{gt_{пол}}{2} \right) = 0$

Исключая решение $t_{пол} = 0$ (момент начала движения), получаем:

$t_{пол} = \frac{2 v_0 \sin(α)}{g}$

Теперь объединим все формулы для вычисления массы:

$m = ρ \cdot (S v_0) \cdot \frac{2 v_0 \sin(α)}{g} = \frac{2 ρ S v_0^2 \sin(α)}{g}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 \cdot \sin(30°)}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}$

Зная, что $\sin(30°) = 0.5$:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \cdot 0.5}{10} \text{ кг} = \frac{4000 \cdot 10^{-4} \cdot 50}{10} \text{ кг} = \frac{0.4 \cdot 50}{10} \text{ кг} = \frac{20}{10} \text{ кг} = 2 \text{ кг}$

Ответ: масса струи, находящейся в воздухе, равна 2 кг.