Номер 8, страница 117 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Кинематика. Глава 1. Кинематика точки. Основные понятия кинематики. Параграф 1.25. Примеры решения задач. Упражнение 4 - номер 8, страница 117.

Условие.

8. Тело брошено с поверхности Земли под углом $30^\circ$ к горизонту. Найдите модуль начальной скорости, если на высоте 10 м тело побывало дважды с интервалом времени 1 с.

Решение.

Дано:

$ \alpha = 30^\circ $

$ h = 10 \text{ м} $

$ \Delta t = 1 \text{ с} $

$ g \approx 10 \text{ м/с}^2 $

Найти:

$ v_0 $ - модуль начальной скорости.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Ускорение свободного падения $g$ направлено вертикально вниз.

Проекция начальной скорости на вертикальную ось Y: $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

Тот факт, что тело на высоте $h$ побывало дважды, означает, что оно достигло этой высоты сначала при движении вверх (в момент времени $t_1$), а затем при движении вниз (в момент времени $t_2$). Интервал времени между этими событиями равен $\Delta t = t_2 - t_1$.

В силу симметрии параболической траектории, время подъема от высоты $h$ до точки максимального подъема равно времени спуска от максимальной высоты до высоты $h$. Этот промежуток времени равен $\frac{\Delta t}{2}$.

Рассмотрим движение тела от высоты $h$ до точки максимального подъема. В начальный момент этого отрезка (на высоте $h$) вертикальная скорость тела равна $v_{yh}$, а в конечный (в наивысшей точке) она равна нулю. Время этого движения равно $\frac{\Delta t}{2}$.

Воспользуемся формулой для вертикальной скорости при равноускоренном движении: $v_{конечная} = v_{начальная} - gt$.

В нашем случае:

$0 = v_{yh} - g \frac{\Delta t}{2}$

Отсюда находим модуль вертикальной скорости на высоте $h$:

$v_{yh} = \frac{g \Delta t}{2}$

Теперь используем формулу, не содержащую времени, для связи вертикальной скорости на высоте $h$ с начальной вертикальной скоростью $v_{0y}$:

$v_{yh}^2 = v_{0y}^2 - 2gh$

Подставим в эту формулу $v_{yh} = \frac{g \Delta t}{2}$ и $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$:

$(\frac{g \Delta t}{2})^2 = (v_0 \sin \alpha)^2 - 2gh$

Выразим из этого уравнения искомую начальную скорость $v_0$:

$(v_0 \sin \alpha)^2 = 2gh + (\frac{g \Delta t}{2})^2$

$v_0^2 \sin^2 \alpha = 2gh + \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}$

$v_0 = \frac{1}{\sin \alpha} \sqrt{2gh + \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\sin 30^\circ = 0.5$

$v_0 = \frac{1}{0.5} \sqrt{2 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ м} + \frac{(10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2})^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{4}}$

$v_0 = 2 \sqrt{200 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} + \frac{100 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{4}}$

$v_0 = 2 \sqrt{200 + 25} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 \sqrt{225} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2 \cdot 15 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 30 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: модуль начальной скорости равен $30$ м/с.