Номер 2, страница 357 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 108. Электрические цепи. Последовательное и параллельное соединения проводников. Глава 15. Законы постоянного тока - номер 2, страница 357.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Найти:

Вывести формулу (15.6) — основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа, связывающее давление газа с микроскопическими параметрами его молекул.

Решение:

Для вывода формулы воспользуемся моделью идеального газа. Предположим, что газ состоит из $N$ одинаковых молекул массой $m_0$ каждая, которые находятся в сосуде кубической формы с ребром $L$. Объем сосуда равен $V = L^3$. Молекулы движутся хаотично и упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда.

1. Рассмотрим одну молекулу, которая движется со скоростью $\vec{v}$. Разложим вектор скорости на компоненты по осям координат: $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$. Сосредоточимся на движении вдоль оси $Ox$. При упругом столкновении со стенкой, перпендикулярной оси $Ox$ (например, с правой стенкой), $x$-компонента скорости меняет знак на противоположный ($v_x \rightarrow -v_x$), а остальные компоненты ($v_y, v_z$) остаются неизменными.

2. Изменение импульса молекулы при одном таком столкновении равно:$\Delta p_x = p_{x, \text{после}} - p_{x, \text{до}} = (-m_0 v_x) - (m_0 v_x) = -2m_0 v_x$.Согласно третьему закону Ньютона, импульс, переданный стенке молекулой, равен по модулю и противоположен по знаку изменению импульса молекулы:$\Delta p_{\text{стенке}} = -\Delta p_x = 2m_0 |v_x|$.

3. Определим время $\Delta t$ между двумя последовательными столкновениями одной и той же молекулы с этой стенкой. За это время молекула должна пройти расстояние $2L$ вдоль оси $Ox$ (от правой стенки до левой и обратно). Таким образом, $\Delta t = \frac{2L}{|v_x|}$.

4. Сила, с которой одна молекула действует на стенку, по второму закону Ньютона в импульсной форме, равна среднему изменению импульса за единицу времени:$F_1 = \frac{\Delta p_{\text{стенке}}}{\Delta t} = \frac{2m_0 |v_x|}{2L / |v_x|} = \frac{m_0 v_x^2}{L}$.

5. Чтобы найти полную силу $F$, действующую на стенку, нужно просуммировать силы от всех $N$ молекул:$F = \sum_{i=1}^{N} F_{1,i} = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_0 v_{ix}^2}{L} = \frac{m_0}{L} \sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$.

6. Введем среднее значение квадрата скорости проекции на ось $Ox$:$\overline{v_x^2} = \frac{v_{1x}^2 + v_{2x}^2 + ... + v_{Nx}^2}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$.Отсюда $\sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2 = N \overline{v_x^2}$.Подставив это в выражение для силы, получаем:$F = \frac{m_0 N \overline{v_x^2}}{L}$.

7. Давление $P$ на стенку равно силе, деленной на площадь стенки $S = L^2$:$P = \frac{F}{S} = \frac{m_0 N \overline{v_x^2}}{L \cdot L^2} = \frac{m_0 N \overline{v_x^2}}{L^3}$.Так как $V = L^3$ – объем куба, то $P = \frac{N}{V} m_0 \overline{v_x^2}$.

8. В силу хаотичности движения молекул все направления равноправны. Это означает, что средние значения квадратов проекций скорости на разные оси равны:$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$.Средний квадрат скорости молекулы $\overline{v^2}$ связан со средними квадратами проекций соотношением:$\overline{v^2} = \overline{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} = 3\overline{v_x^2}$.Отсюда следует, что $\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$.

9. Подставим это выражение в формулу для давления:$P = \frac{N}{V} m_0 \left(\frac{1}{3}\overline{v^2}\right) = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \overline{v^2}$.Введя концентрацию молекул $n = N/V$, получаем основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:$P = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$.

Эту формулу можно также выразить через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул $\overline{E_k} = \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}$.Из этого соотношения имеем $m_0 \overline{v^2} = 2\overline{E_k}$. Подставляя в уравнение для давления:$P = \frac{1}{3} n (2\overline{E_k}) = \frac{2}{3} n \overline{E_k}$.

Ответ:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (предполагаемая формула 15.6) имеет вид:$P = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$или$P = \frac{2}{3} n \overline{E_k}$,где $P$ – давление газа, $n$ – концентрация молекул, $m_0$ – масса одной молекулы, $\overline{v^2}$ – средний квадрат скорости молекул, а $\overline{E_k}$ – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.