Номер 3, страница 358 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 108. Электрические цепи. Последовательное и параллельное соединения проводников. Глава 15. Законы постоянного тока - номер 3, страница 358.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Для доказательства справедливости соотношения (15.7), которое в курсе физики обычно связывает среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул идеального газа с его абсолютной температурой, необходимо исходить из основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ) и уравнения состояния идеального газа.

Дано:

Основное уравнение МКТ: $p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона): $pV = N k T$

Определение средней кинетической энергии поступательного движения молекулы: $\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$

где:

$p$ – давление газа,

$n$ – концентрация молекул ($n = N/V$),

$m_0$ – масса одной молекулы,

$\langle v^2 \rangle$ – средний квадрат скорости молекул,

$V$ – объем газа,

$N$ – число молекул в газе,

$k$ – постоянная Больцмана,

$T$ – абсолютная температура.

Доказать:

Соотношение (15.7): $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T$

Решение:

1. Запишем основное уравнение МКТ и преобразуем его. Заменим концентрацию $n$ на ее определение через число молекул $N$ и объем $V$:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle$

Теперь умножим обе части уравнения на объем $V$, чтобы выразить произведение $pV$:

$pV = \frac{1}{3} N m_0 \langle v^2 \rangle$ (1)

2. Запишем уравнение состояния идеального газа для $N$ молекул:

$pV = N k T$ (2)

3. Левые части уравнений (1) и (2) равны ($pV$). Следовательно, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1}{3} N m_0 \langle v^2 \rangle = N k T$

4. Так как число молекул $N$ отлично от нуля, мы можем сократить на $N$ обе части равенства:

$\frac{1}{3} m_0 \langle v^2 \rangle = k T$

5. Из полученного соотношения выразим произведение $m_0 \langle v^2 \rangle$, умножив обе части на 3:

$m_0 \langle v^2 \rangle = 3 k T$

6. По определению, средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа вычисляется по формуле:

$\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$

7. Подставим в эту формулу выражение для $m_0 \langle v^2 \rangle$, которое мы нашли в пункте 5:

$\langle E_k \rangle = \frac{1}{2} (3 k T)$

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T$

Таким образом, мы доказали, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре. Это и есть искомое соотношение.

Ответ: Справедливость соотношения $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2} k T$ доказана путем совместного использования основного уравнения МКТ и уравнения состояния идеального газа.