Номер 4, страница 358 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 108. Электрические цепи. Последовательное и параллельное соединения проводников. Глава 15. Законы постоянного тока - номер 4, страница 358.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Поскольку номер формулы (15.9) не позволяет однозначно её идентифицировать без контекста учебника, будем исходить из предположения, что это одна из ключевых формул, вывод которой часто предлагается для самостоятельной работы. Наиболее вероятным кандидатом является уравнение адиабатического процесса для идеального газа (уравнение Пуассона), которое часто встречается в разделе термодинамики (глава 15 во многих учебниках физики).

Дано:

Рассматривается идеальный газ, совершающий адиабатический процесс.

1. Первый закон термодинамики: $dU = \delta Q - \delta A$ (где $dU$ – изменение внутренней энергии, $\delta Q$ – полученное тепло, $\delta A$ – совершенная работа).

2. Условие адиабатического процесса: $\delta Q = 0$.

3. Изменение внутренней энергии $\nu$ молей идеального газа: $dU = \nu C_V dT$, где $C_V$ – молярная теплоемкость при постоянном объеме.

4. Работа газа при изменении объема: $\delta A = P dV$.

5. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): $PV = \nu RT$.

6. Уравнение Майера для идеального газа: $C_p - C_V = R$, где $C_p$ – молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Найти:

Вывести формулу, связывающую давление $P$ и объем $V$ для адиабатического процесса.

Решение:

1. Запишем первый закон термодинамики для адиабатического процесса. Так как $\delta Q = 0$, закон принимает вид: $dU = - \delta A$.

2. Подставим в это уравнение выражения для $dU$ и $\delta A$:

$\nu C_V dT = -P dV$

3. Нам нужно получить зависимость между $P$ и $V$. Для этого необходимо исключить температуру $T$ из уравнения. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа $PV = \nu RT$. Запишем его в дифференциальной форме:

$d(PV) = d(\nu RT)$

$P dV + V dP = \nu R dT$

4. Из этого соотношения выразим дифференциал температуры $dT$:

$dT = \frac{P dV + V dP}{\nu R}$

5. Теперь подставим полученное выражение для $dT$ в уравнение из шага 2:

$\nu C_V \left( \frac{P dV + V dP}{\nu R} \right) = -P dV$

6. Сократим количество вещества $\nu$ и воспользуемся уравнением Майера $R = C_p - C_V$:

$\frac{C_V}{C_p - C_V} (P dV + V dP) = -P dV$

7. Упростим полученное выражение:

$C_V (P dV + V dP) = -P dV (C_p - C_V)$

$C_V P dV + C_V V dP = -C_p P dV + C_V P dV$

$C_V V dP = -C_p P dV$

8. Теперь разделим переменные. Для этого разделим обе части уравнения на произведение $C_V P V$ (считая, что $P \neq 0$, $V \neq 0$):

$\frac{V dP}{P V} = - \frac{C_p P dV}{C_V P V}$

$\frac{dP}{P} = - \frac{C_p}{C_V} \frac{dV}{V}$

9. Отношение теплоемкостей $\frac{C_p}{C_V}$ является важной характеристикой газа и называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона), обозначается буквой $\gamma$ (гамма): $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$.

$\frac{dP}{P} = - \gamma \frac{dV}{V}$

10. Для нахождения зависимости $P$ от $V$ проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение:

$\int \frac{dP}{P} = - \gamma \int \frac{dV}{V}$

$\ln P = - \gamma \ln V + \text{const}$

11. Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнение:

$\ln P + \gamma \ln V = \text{const}$

$\ln P + \ln(V^\gamma) = \text{const}$

$\ln(P V^\gamma) = \text{const}$

12. Потенцируя обе части уравнения (т.е. находя экспоненту от обеих частей), получаем искомое соотношение:

$e^{\ln(P V^\gamma)} = e^{\text{const}}$

$P V^\gamma = \text{const}$

Это и есть уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона).

Ответ: Выведенная формула для адиабатического процесса идеального газа: $P V^\gamma = \text{const}$, где $P$ - давление, $V$ - объем, а $\gamma = C_p/C_V$ - показатель адиабаты.