Номер 273, страница 40, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 273, страница 40.

Условие.

273. [248] На гладкой поверхности лежат два шара, между которыми находится сжатая пружина (рис. 55). Пружину отпускают, она распрямляется, вследствие чего шары разлетаются в разные стороны. Определите скорости шаров, если их массы $m_1$ и $m_2$. Начальная энергия сжатой пружины $\text{E}$. Пружина с шарами не скреплена.

Рис. 55

Решение.

Дано:
Масса первого шара: $m_1$
Масса второго шара: $m_2$
Начальная энергия сжатой пружины: $\text{E}$
Начальная скорость системы равна нулю.

Найти:
Скорость первого шара: $v_1$
Скорость второго шара: $v_2$

Решение:

Поскольку шары лежат на гладкой поверхности, трение отсутствует. Система, состоящая из двух шаров и пружины, является замкнутой (изолированной), так как внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы. Для такой системы выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Изначально шары и пружина находятся в состоянии покоя, поэтому начальный импульс системы равен нулю. После того как пружина распрямляется и расталкивает шары, они начинают двигаться в противоположных направлениях со скоростями $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$.

1. Закон сохранения импульса.
Суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия.
$m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot 0 = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$
$0 = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}$
Отсюда следует, что $m_1 \vec{v_1} = -m_2 \vec{v_2}$. Векторы скоростей направлены в противоположные стороны. Для модулей скоростей справедливо равенство:
$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (1)

2. Закон сохранения энергии.
Начальная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины $\text{E}$. Кинетическая энергия шаров равна нулю. После распрямления пружины вся ее потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию шаров.
$E_{потенциальная} = E_{кинетическая}$
$E = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$ (2)

3. Решение системы уравнений.
Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_1$ и $v_2$.
Из уравнения (1) выразим скорость $v_2$ через $v_1$:
$v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2}$
Подставим это выражение в уравнение (2):
$E = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2}{2} \left( \frac{m_1 v_1}{m_2} \right)^2 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 m_1^2 v_1^2}{2 m_2^2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_1^2 v_1^2}{2 m_2}$
Вынесем общий множитель за скобки:
$E = \frac{v_1^2}{2} \left( m_1 + \frac{m_1^2}{m_2} \right) = \frac{v_1^2}{2} \left( \frac{m_1 m_2 + m_1^2}{m_2} \right) = \frac{v_1^2 m_1 (m_1 + m_2)}{2 m_2}$
Выразим $v_1^2$:
$v_1^2 = \frac{2 E m_2}{m_1 (m_1 + m_2)}$
Отсюда находим модуль скорости первого шара:
$v_1 = \sqrt{\frac{2 E m_2}{m_1 (m_1 + m_2)}}$
Аналогично, для нахождения $v_2$, можно выразить $v_1$ из уравнения (1) ($v_1 = \frac{m_2 v_2}{m_1}$) и подставить в (2), либо просто подставить найденное значение $v_1$ в выражение для $v_2$. Поменяв индексы 1 и 2 местами в формуле для $v_1$, получим:
$v_2 = \sqrt{\frac{2 E m_1}{m_2 (m_1 + m_2)}}$

Ответ: Скорости шаров после распрямления пружины равны $v_1 = \sqrt{\frac{2 E m_2}{m_1 (m_1 + m_2)}}$ и $v_2 = \sqrt{\frac{2 E m_1}{m_2 (m_1 + m_2)}}$.