Номер 277, страница 41, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 277, страница 41.

Условие.

277. [252] Два тела, находящиеся на концах горизонтального диаметра гладкой полусферы радиусом 40 см, соскальзывают без начальной скорости навстречу друг другу (рис. 58). После столкновения тела слипаются и движутся как одно целое, поднимаясь на высоту 10 см. Определите отношение масс тел. Какая часть механической энергии теряется при их абсолютно неупругом столкновении?

Решение.

Дано

$R = 40 \text{ см}$

$h = 10 \text{ см}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$R = 0.4 \text{ м}$

$h = 0.1 \text{ м}$

Найти:

1. $\frac{m_1}{m_2} - ?$

2. $\eta = \frac{\Delta E}{E_{до}} - ?$

Решение

Определите отношение масс тел.

1. Найдем скорости тел $v_1$ и $v_2$ в нижней точке полусферы (непосредственно перед столкновением), используя закон сохранения механической энергии. Начальная высота каждого тела равна радиусу полусферы $\text{R}$. Начальная скорость равна нулю.

Для первого тела: $m_1gR = \frac{m_1v_1^2}{2}$

Для второго тела: $m_2gR = \frac{m_2v_2^2}{2}$

Отсюда скорости обоих тел перед столкновением одинаковы по модулю:

$v_1 = v_2 = v = \sqrt{2gR}$

2. При абсолютно неупругом столкновении тела слипаются и движутся как единое целое. Применим закон сохранения импульса. Направим ось OX в сторону движения первого тела. Тогда импульс системы до столкновения равен:

$p_{до} = m_1v_1 - m_2v_2 = (m_1 - m_2)v$

Импульс системы после столкновения:

$p_{после} = (m_1 + m_2)V$

где $\text{V}$ - скорость слипшихся тел сразу после столкновения. По закону сохранения импульса:

$(m_1 - m_2)v = (m_1 + m_2)V$

Отсюда: $V = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v$

3. После столкновения слипшиеся тела поднимаются на высоту $\text{h}$. Снова применяем закон сохранения механической энергии для составного тела:

Кинетическая энергия сразу после столкновения переходит в потенциальную энергию на высоте $\text{h}$.

$\frac{(m_1 + m_2)V^2}{2} = (m_1 + m_2)gh$

$V^2 = 2gh$

4. Объединим полученные выражения. Подставим в последнюю формулу выражения для $\text{V}$ и $\text{v}$:

$\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v\right)^2 = 2gh$

$\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2 v^2 = 2gh$

$\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2 (2gR) = 2gh$

$\left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2 = \frac{h}{R}$

Извлечем квадратный корень (будем считать, что $m_1 > m_2$, поэтому разность положительна):

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \sqrt{\frac{h}{R}}$

Подставим числовые значения:

$\sqrt{\frac{h}{R}} = \sqrt{\frac{0.1 \text{ м}}{0.4 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Обозначим искомое отношение масс как $k = \frac{m_1}{m_2}$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $m_2$:

$\frac{\frac{m_1}{m_2} - 1}{\frac{m_1}{m_2} + 1} = \frac{k - 1}{k + 1} = \frac{1}{2}$

$2(k - 1) = k + 1$

$2k - 2 = k + 1$

$k = 3$

Если бы мы предположили, что $m_2 > m_1$, то получили бы отношение $1/3$. Обычно под отношением понимают отношение большей массы к меньшей.

Ответ: Отношение масс тел равно 3.

Какая часть механической энергии теряется при их абсолютно неупругом столкновении?

1. Найдем полную механическую энергию системы непосредственно перед столкновением. Она равна сумме кинетических энергий двух тел:

$E_{до} = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}$

Так как $v_1^2 = v_2^2 = 2gR$, то:

$E_{до} = \frac{m_1(2gR)}{2} + \frac{m_2(2gR)}{2} = (m_1 + m_2)gR$

2. Найдем механическую энергию системы сразу после столкновения. Она равна кинетической энергии слипшихся тел:

$E_{после} = \frac{(m_1 + m_2)V^2}{2}$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $V^2 = 2gh$. Тогда:

$E_{после} = \frac{(m_1 + m_2)(2gh)}{2} = (m_1 + m_2)gh$

3. Потерянная механическая энергия равна разности энергий до и после столкновения:

$\Delta E = E_{до} - E_{после} = (m_1 + m_2)gR - (m_1 + m_2)gh = (m_1 + m_2)g(R - h)$

4. Часть потерянной энергии $\eta$ – это отношение потерянной энергии к начальной энергии (до столкновения):

$\eta = \frac{\Delta E}{E_{до}} = \frac{(m_1 + m_2)g(R - h)}{(m_1 + m_2)gR} = \frac{R - h}{R} = 1 - \frac{h}{R}$

Подставим числовые значения:

$\eta = 1 - \frac{0.1 \text{ м}}{0.4 \text{ м}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$

Ответ: При столкновении теряется $3/4$ или 75% механической энергии.