Номер 284, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 284, страница 42.

Условие.

284. [870] Покажите, что после прямого абсолютно упругого удара тела с одинаковыми массами обмениваются скоростями.

Решение.

Рассмотрим систему из двух тел с одинаковыми массами, движущихся вдоль одной прямой.

Дано:

Масса первого тела: $m_1$
Масса второго тела: $m_2$
По условию массы тел одинаковы: $m_1 = m_2 = m$
Скорость первого тела до столкновения: $\vec{v}_1$
Скорость второго тела до столкновения: $\vec{v}_2$
Скорость первого тела после столкновения: $\vec{u}_1$
Скорость второго тела после столкновения: $\vec{u}_2$
Столкновение является прямым и абсолютно упругим.

Найти:

Доказать, что тела обмениваются скоростями, то есть $\vec{u}_1 = \vec{v}_2$ и $\vec{u}_2 = \vec{v}_1$.

Решение:

Поскольку столкновение является абсолютно упругим, для системы из двух тел выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса:

Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения. Так как удар прямой, движение происходит вдоль одной оси, и мы можем записать закон в скалярной форме:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Поскольку массы тел равны ($m_1 = m_2 = m$), мы можем сократить массу $\text{m}$:

$m(v_1 + v_2) = m(u_1 + u_2)$

$v_1 + v_2 = u_1 + u_2$ (1)

2. Закон сохранения кинетической энергии:

Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии системы после столкновения.

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Подставив $m_1 = m_2 = m$ и умножив обе части уравнения на $\frac{2}{m}$, получим:

$v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $u_1$ и $u_2$. Преобразуем оба уравнения, перегруппировав слагаемые:

Из уравнения (1):

$v_1 - u_1 = u_2 - v_2$ (1a)

Из уравнения (2):

$v_1^2 - u_1^2 = u_2^2 - v_2^2$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = (u_2 - v_2)(u_2 + v_2)$ (2a)

Разделим уравнение (2a) на уравнение (1a). Это возможно, если $v_1 \neq u_1$, то есть если скорости тел изменились в результате столкновения.

$\frac{(v_1 - u_1)(v_1 + u_1)}{v_1 - u_1} = \frac{(u_2 - v_2)(u_2 + v_2)}{u_2 - v_2}$

$v_1 + u_1 = v_2 + u_2$ (3)

Теперь решим систему из уравнений (1) и (3):

$\begin{cases} v_1 + v_2 = u_1 + u_2 \\ v_1 - v_2 = u_2 - u_1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = (u_1 + u_2) + (u_2 - u_1)$

$2v_1 = 2u_2$

$u_2 = v_1$

Подставим полученный результат $u_2 = v_1$ в первое уравнение системы (1):

$v_1 + v_2 = u_1 + v_1$

$u_1 = v_2$

Таким образом, мы получили, что скорость первого тела после столкновения ($u_1$) стала равна начальной скорости второго тела ($v_2$), а скорость второго тела после столкновения ($u_2$) стала равна начальной скорости первого тела ($v_1$). Это означает, что тела обменялись скоростями.

Ответ: В результате прямого абсолютно упругого удара двух тел одинаковой массы их скорости меняются местами: $u_1 = v_2$ и $u_2 = v_1$. Утверждение доказано.