Номер 287, страница 42, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 287, страница 42.

Условие.

287. [873] Шар массой $m_1$ ударяет по неподвижному шару массой $m_2$. Считая взаимодействие шаров абсолютно упругим, а удар центральным, определите, при каком значении отношения $m_1/m_2$ подвижный шар:

1) потеряет всю энергию;

2) не потеряет энергию.

Решение.

Дано:

Масса первого (подвижного) шара: $m_1$
Масса второго (неподвижного) шара: $m_2$
Начальная скорость первого шара: $v_1$
Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$
Удар: абсолютно упругий, центральный

Найти:

Отношение $m_1/m_2$ в случаях, когда:
1) первый шар теряет всю энергию;
2) первый шар не теряет энергию.

Решение:

При абсолютно упругом центральном ударе для системы из двух шаров выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Направим координатную ось вдоль направления движения первого шара.

Закон сохранения импульса:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$
Поскольку второй шар изначально неподвижен ($v_2 = 0$), уравнение принимает вид:
$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2$ (1)

Закон сохранения кинетической энергии:
$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$
С учётом $v_2 = 0$:
$m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2) для нахождения скорости первого шара $u_1$ после столкновения. Для этого преобразуем уравнения:
Из (1): $m_1 (v_1 - u_1) = m_2 u_2$
Из (2): $m_1 (v_1^2 - u_1^2) = m_2 u_2^2 \implies m_1 (v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 u_2^2$
Разделив второе преобразованное уравнение на первое (при условии, что столкновение произошло, т.е. $u_2 \neq 0$ и $v_1 \neq u_1$), получим:
$v_1 + u_1 = u_2$
Подставим это выражение для $u_2$ в уравнение (1):
$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 (v_1 + u_1)$
$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 v_1 + m_2 u_1$
$v_1 (m_1 - m_2) = u_1 (m_1 + m_2)$
Отсюда выразим скорость первого шара после столкновения:
$u_1 = v_1 \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$

Теперь рассмотрим два случая, указанные в условии задачи.

1) потеряет всю энергию

Подвижный шар теряет всю свою кинетическую энергию, если после удара его скорость становится равной нулю ($u_1=0$). Так как начальная скорость $v_1 \neq 0$, для выполнения этого условия необходимо, чтобы числитель в выражении для $u_1$ был равен нулю:
$m_1 - m_2 = 0$
Отсюда следует, что массы шаров должны быть равны:
$m_1 = m_2$
Таким образом, искомое отношение масс:
$\frac{m_1}{m_2} = 1$
Ответ: 1.

2) не потеряет энергию

Подвижный шар не теряет энергию, если его кинетическая энергия после удара равна его начальной кинетической энергии:
$E_{k1, фин} = E_{k1, нач}$
$\frac{m_1 u_1^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$
$u_1^2 = v_1^2$
Подставим в это равенство полученное ранее выражение для $u_1$:
$\left( v_1 \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 = v_1^2$
Сократив на $v_1^2$ (так как $v_1 \neq 0$), получаем:
$\left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 = 1$
Это уравнение имеет два решения:
а) $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = 1 \implies m_1 - m_2 = m_1 + m_2 \implies 2m_2 = 0 \implies m_2 = 0$.
Это предельный случай, когда масса неподвижного шара равна нулю. В этом случае отношение $m_1/m_2$ стремится к бесконечности. Физически это означает, что первый шар не встречает препятствия и продолжает движение с прежней скоростью ($u_1 = v_1$).
б) $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = -1 \implies m_1 - m_2 = -(m_1 + m_2) \implies m_1 - m_2 = -m_1 - m_2 \implies 2m_1 = 0 \implies m_1 = 0$.
Это другой предельный случай, когда масса налетающего шара равна нулю. Отношение $m_1/m_2 = 0$. Физически это соответствует столкновению очень лёгкого шара с очень массивным неподвижным шаром (как теннисный мяч со стеной). Лёгкий шар отскакивает в противоположном направлении с той же по модулю скоростью ($u_1 = -v_1$), не теряя своей кинетической энергии.
Так как в задаче требуется указать конкретное значение отношения, а бесконечность не является числом, в качестве ответа следует выбрать второй случай.
Ответ: 0.