Номер 293, страница 43, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 293, страница 43.

Условие.

293. 879 Движущийся шар массой $m_1$ ударяет по неподвижному шару массой $m_2$. В результате этого абсолютно упругого прямого удара шар массой $m_1$ потерял $\frac{3}{4}$ своей кинетической энергии. Чему равно отношение масс шаров?

Решение.

Дано:

Масса первого шара - $m_1$

Масса второго шара - $m_2$

Начальная скорость первого шара - $v_1$

Начальная скорость второго шара - $v_2 = 0$

Удар абсолютно упругий, прямой (центральный).

Потеря кинетической энергии первым шаром $\Delta E_{k1} = \frac{3}{4} E_{k1}$, где $E_{k1}$ - начальная кинетическая энергия первого шара.

Найти:

Отношение масс шаров $\frac{m_1}{m_2}$

Решение:

Начальная кинетическая энергия первого шара, движущегося со скоростью $v_1$, равна $E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$. Второй шар покоится, поэтому его начальная кинетическая энергия равна нулю.

По условию задачи, после столкновения первый шар потерял $\frac{3}{4}$ своей первоначальной кинетической энергии. Это означает, что его конечная кинетическая энергия $E'_{k1}$ составляет $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ от начальной:

$E'_{k1} = \frac{1}{4} E_{k1}$

Пусть $u_1$ — скорость первого шара после столкновения. Тогда его конечная кинетическая энергия равна $E'_{k1} = \frac{m_1 u_1^2}{2}$. Подставим выражения для энергий в соотношение выше:

$\frac{m_1 u_1^2}{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{m_1 v_1^2}{2} \right)$

Сократив обе части уравнения на $\frac{m_1}{2}$, получим:

$u_1^2 = \frac{1}{4} v_1^2$

Из этого следует, что модуль скорости первого шара после удара в два раза меньше модуля его начальной скорости. Направление скорости может как сохраниться, так и измениться на противоположное:

$u_1 = \pm \frac{1}{2} v_1$

Для абсолютно упругого центрального удара движущегося тела о покоящееся существуют стандартные формулы для скоростей тел после столкновения. Скорость первого тела ($u_1$) после удара выражается через начальную скорость ($v_1$) и массы тел ($m_1$ и $m_2$) следующим образом:

$u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1$

Приравняем это выражение к найденному нами значению $u_1$:

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 = \pm \frac{1}{2} v_1$

Поскольку начальная скорость $v_1 \neq 0$, мы можем сократить на $v_1$:

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \pm \frac{1}{2}$

Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: Первый шар продолжает движение в первоначальном направлении ($u_1 = +\frac{1}{2} v_1$).

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{2}$

$2(m_1 - m_2) = 1(m_1 + m_2)$

$2m_1 - 2m_2 = m_1 + m_2$

$2m_1 - m_1 = m_2 + 2m_2$

$m_1 = 3m_2$

Отсюда находим отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = 3$

Случай 2: Первый шар отскакивает назад ($u_1 = -\frac{1}{2} v_1$).

$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = -\frac{1}{2}$

$2(m_1 - m_2) = -1(m_1 + m_2)$

$2m_1 - 2m_2 = -m_1 - m_2$

$2m_1 + m_1 = 2m_2 - m_2$

$3m_1 = m_2$

Отсюда находим отношение масс:

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$

Оба полученных результата являются физически возможными и удовлетворяют условию задачи.

Ответ: Отношение масс шаров $\frac{m_1}{m_2}$ может быть равно 3 или $\frac{1}{3}$.