Номер 299, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 299, страница 44.

Условие.

299. H Определите скорость тела, запущенного вверх с поверхности Земли, если оно отлетело от Земли на расстояние, равное двум радиусам.

Решение.

Дано:

$h = 2R$

$R \approx 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$ (средний радиус Земли)

$g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$ (ускорение свободного падения у поверхности Земли)

Найти:

$v_0$

Решение:

Для решения данной задачи применим закон сохранения полной механической энергии. Будем считать, что сопротивление атмосферы отсутствует. Полная механическая энергия тела, состоящая из кинетической и потенциальной энергии, в замкнутой системе (тело + Земля) сохраняется.

1. В начальный момент времени тело находится на поверхности Земли ($r_1 = R$) и обладает начальной скоростью $v_0$. Его полная механическая энергия $E_1$ равна:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_0^2}{2} - G\frac{Mm}{R}$

где $\text{m}$ — масса тела, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

2. В конечный момент времени тело достигает максимальной высоты. По условию, оно "отлетело от Земли на расстояние, равное двум радиусам". Это означает, что высота подъема над поверхностью составляет $h = 2R$. Таким образом, расстояние от центра Земли до тела в этой точке $r_2 = R + h = R + 2R = 3R$. На максимальной высоте скорость тела обращается в ноль ($v_2 = 0$), поэтому его кинетическая энергия также равна нулю.

Полная механическая энергия тела $E_2$ в верхней точке траектории:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = 0 - G\frac{Mm}{r_2} = -G\frac{Mm}{3R}$

3. По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$\frac{mv_0^2}{2} - G\frac{Mm}{R} = -G\frac{Mm}{3R}$

4. Выразим из этого равенства искомую начальную скорость $v_0$. Сократим массу тела $\text{m}$ и преобразуем уравнение:

$\frac{v_0^2}{2} = G\frac{M}{R} - G\frac{M}{3R}$

$\frac{v_0^2}{2} = G\frac{M}{R} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}G\frac{M}{R}$

$v_0^2 = \frac{4}{3}G\frac{M}{R}$

5. Ускорение свободного падения у поверхности Земли определяется формулой $g = G\frac{M}{R^2}$. Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$. Подставим это в наше уравнение для $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{4}{3}\frac{gR^2}{R} = \frac{4}{3}gR$

Отсюда находим скорость:

$v_0 = \sqrt{\frac{4}{3}gR} = 2\sqrt{\frac{gR}{3}}$

6. Подставим числовые значения:

$v_0 = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot 9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}} \approx \sqrt{83.63 \cdot 10^6 \, \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 9145 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем результат в километры в секунду:

$v_0 \approx 9.1 \, \text{км/с}$

Ответ: начальная скорость тела должна быть приблизительно равна $9.1 \, \text{км/с}$.