Номер 294, страница 43, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 294, страница 43.

Условие.

294. [880] Мяч массой 1 кг, летящий горизонтально со скоростью 6 м/с, ударяется об экран, стоящий на тележке и наклоненный под углом $45^\circ$ к горизонту. Масса тележки с экраном 10 кг. На какую высоту поднимется мяч после удара? Удар считайте абсолютно упругим. Трением пренебрегите.

Решение.

Дано:

Масса мяча $m_1 = 1$ кг

Начальная скорость мяча $v_1 = 6$ м/с

Масса тележки с экраном $m_2 = 10$ кг

Начальная скорость тележки $v_2 = 0$ м/с

Угол наклона экрана к горизонту $\alpha = 45^\circ$

Ускорение свободного падения $g = 9.8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальную высоту подъема мяча после удара $\text{h}$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из мяча и тележки с экраном. Введем систему координат: ось Ox направим горизонтально в направлении движения мяча, а ось Oy — вертикально вверх. Поскольку удар абсолютно упругий и трение отсутствует, для системы выполняются закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось Ox и закон сохранения полной механической энергии.

Пусть $\vec{u}_1$ — скорость мяча после удара с компонентами $(u_{1x}, u_{1y})$, а $u_2$ — скорость тележки после удара. Так как тележка может двигаться только по горизонтали, ее скорость будет направлена вдоль оси Ox.

Запишем закон сохранения импульса для проекции на ось Ox:

$m_1 v_1 = m_1 u_{1x} + m_2 u_2$ (1)

Запишем закон сохранения механической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_1 (u_{1x}^2 + u_{1y}^2)}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$ (2)

Взаимодействие между мячом и экраном происходит по нормали к поверхности экрана. Импульс силы $\vec{J}$, действующий на мяч, перпендикулярен поверхности экрана. Вектор нормали к экрану составляет угол $135^\circ$ с положительным направлением оси Ox. Следовательно, компоненты импульса силы $\vec{J}$, действующей на мяч, равны:

$J_x = J \cos(135^\circ) = -J \frac{\sqrt{2}}{2} = -J \cos\alpha$

$J_y = J \sin(135^\circ) = J \frac{\sqrt{2}}{2} = J \sin\alpha$

Запишем изменение импульса для мяча и тележки.

Для мяча:

$m_1 u_{1x} - m_1 v_1 = J_x = -J \cos\alpha$

$m_1 u_{1y} - 0 = J_y = J \sin\alpha$ (3)

Для тележки (на которую действует импульс $-\vec{J}$):

$m_2 u_2 - 0 = -J_x = J \cos\alpha$ (4)

Из уравнения (4) выразим $J \cos\alpha = m_2 u_2$ и подставим в уравнение для $u_{1x}$:

$m_1 u_{1x} - m_1 v_1 = -m_2 u_2$, что эквивалентно уравнению (1).

Из уравнений (3) и (4) можно найти связь между $u_{1y}$ и $u_2$. Из (4) $J = \frac{m_2 u_2}{\cos\alpha}$. Подставим это в (3):

$m_1 u_{1y} = \left(\frac{m_2 u_2}{\cos\alpha}\right) \sin\alpha = m_2 u_2 \tan\alpha$

Поскольку $\alpha = 45^\circ$, то $\tan\alpha = 1$, следовательно:

$m_1 u_{1y} = m_2 u_2 \implies u_{1y} = \frac{m_2}{m_1} u_2$ (5)

Теперь у нас есть система уравнений (1), (2) и (5). Выразим $u_{1x}$ из (1):

$u_{1x} = \frac{m_1 v_1 - m_2 u_2}{m_1} = v_1 - \frac{m_2}{m_1} u_2$

Подставим выражения для $u_{1x}$ и $u_{1y}$ в уравнение сохранения энергии (2), предварительно умножив его на 2:

$m_1 v_1^2 = m_1 \left( \left(v_1 - \frac{m_2}{m_1} u_2\right)^2 + \left(\frac{m_2}{m_1} u_2\right)^2 \right) + m_2 u_2^2$

$m_1 v_1^2 = m_1 \left( v_1^2 - 2v_1\frac{m_2}{m_1}u_2 + \frac{m_2^2}{m_1^2}u_2^2 + \frac{m_2^2}{m_1^2}u_2^2 \right) + m_2 u_2^2$

Раскроем скобки и упростим:

$m_1 v_1^2 = m_1 v_1^2 - 2m_2 v_1 u_2 + 2\frac{m_2^2}{m_1}u_2^2 + m_2 u_2^2$

$0 = -2m_2 v_1 u_2 + \left( \frac{2m_2^2}{m_1} + m_2 \right) u_2^2$

Поскольку после удара тележка движется ($u_2 \neq 0$), можно разделить обе части на $u_2$:

$2m_2 v_1 = \left( \frac{2m_2^2}{m_1} + m_2 \right) u_2 = m_2 \left( \frac{2m_2 + m_1}{m_1} \right) u_2$

$2 v_1 = \left( \frac{2m_2 + m_1}{m_1} \right) u_2 \implies u_2 = \frac{2m_1 v_1}{2m_2 + m_1}$

Подставим числовые значения:

$u_2 = \frac{2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 6 \text{ м/с}}{2 \cdot 10 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ м/с.

Теперь найдем вертикальную скорость мяча $u_{1y}$ из уравнения (5):

$u_{1y} = \frac{m_2}{m_1} u_2 = \frac{10 \text{ кг}}{1 \text{ кг}} \cdot \frac{4}{7} \text{ м/с} = \frac{40}{7}$ м/с.

Максимальная высота подъема мяча $\text{h}$ после удара определяется из закона сохранения энергии для самого мяча (его вертикальная кинетическая энергия переходит в потенциальную):

$\frac{m_1 u_{1y}^2}{2} = m_1 g h$

$h = \frac{u_{1y}^2}{2g} = \frac{(\frac{40}{7})^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{1600}{49 \cdot 19.6} = \frac{1600}{960.4} \approx 1.67$ м.

Ответ:

Мяч поднимется на высоту примерно 1.67 м.