Номер 296, страница 43, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 296, страница 43.

Условие.

296. [882] Два гладких упругих шара радиусом $\text{r}$ каждый лежат, соприкасаясь друг с другом, на гладкой горизонтальной плоскости. Третий упругий шар радиусом $\text{2r}$, скользящий со скоростью $\text{v}$, ударяет одновременно оба шара (рис. 63). Определите скорость большого шара после удара. Шары изготовлены из одного материала.

Рис. 63

Решение.

Дано:

Радиус малых шаров: $r_1=r_2=r$

Радиус большого шара: $R=2r$

Начальная скорость большого шара: $\vec{v}$

Начальные скорости малых шаров: $\vec{v}_1 = \vec{v}_2 = 0$

Материал шаров одинаковый.

Удар абсолютно упругий.

Поверхности гладкие.

(Все данные представлены в символьном виде, перевод в СИ не требуется)

Найти:

Скорость большого шара после удара: $\text{u}$

Решение:

Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала (имеют одинаковую плотность $\rho$), их массы пропорциональны их объемам ($V = \frac{4}{3}\pi \cdot (\text{радиус})^3$).

Масса малого шара: $m = \rh°\frac{4}{3}\pi r^3$.

Масса большого шара: $M = \rh°\frac{4}{3}\pi R^3 = \rh°\frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \left(\rh°\frac{4}{3}\pi r^3\right) = 8m$.

Рассмотрим геометрию столкновения. В момент удара центры трех шаров образуют равнобедренный треугольник. Направим ось $Ox$ вдоль начальной скорости большого шара $\vec{v}$. В силу симметрии, после удара большой шар продолжит движение вдоль этой оси. Пусть $\alpha$ - угол между осью $Ox$ и линией, соединяющей центр большого шара и центр одного из малых шаров (например, верхнего). Расстояние между их центрами в момент удара равно сумме радиусов $d = R+r = 2r+r = 3r$. Из геометрии следует:

$\sin\alpha = \frac{r}{d} = \frac{r}{3r} = \frac{1}{3}$

Тогда квадрат косинуса этого угла равен:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

Так как поверхности шаров гладкие, сила взаимодействия при ударе направлена по линии, соединяющей их центры. Компоненты сил, действующих со стороны большого шара на малые, расталкивают малые шары друг от друга. Поскольку малые шары изначально только соприкасались, они не оказывают друг на друга никакого давления в процессе удара. Следовательно, столкновение можно рассматривать как два одновременных и независимых упругих удара большого шара с каждым из малых.

Применим законы сохранения импульса и кинетической энергии для системы из трех шаров. Пусть $\text{u}$ — скорость большого шара после удара, а $u_1$ — величина скорости каждого из малых шаров (их скорости будут равны по модулю из-за симметрии). После удара скорости малых шаров будут направлены вдоль линий, соединяющих их центры с центром большого шара, то есть под углами $\alpha$ и $-\alpha$ к оси $Ox$.

Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:

$Mv = Mu + m u_{1x} + m u_{2x}$

$8mv = 8mu + m(u_1 \cos\alpha) + m(u_1 \cos\alpha)$

$8v = 8u + 2u_1 \cos\alpha$

$4v = 4u + u_1 \cos\alpha$ (1)

Закон сохранения кинетической энергии (удар упругий):

$\frac{1}{2}Mv^2 = \frac{1}{2}Mu^2 + \frac{1}{2}mu_1^2 + \frac{1}{2}mu_1^2$

$Mv^2 = Mu^2 + 2mu_1^2$

$8mv^2 = 8mu^2 + 2mu_1^2$

$4v^2 = 4u^2 + u_1^2$ (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим $u_1$:

$u_1 = \frac{4(v-u)}{\cos\alpha}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$4v^2 = 4u^2 + \left(\frac{4(v-u)}{\cos\alpha}\right)^2 = 4u^2 + \frac{16(v-u)^2}{\cos^2\alpha}$

Разделим обе части на 4 и подставим значение $\cos^2\alpha = 8/9$:

$v^2 = u^2 + \frac{4(v-u)^2}{8/9} = u^2 + \frac{36}{8}(v-u)^2 = u^2 + \frac{9}{2}(v-u)^2$

Умножим на 2 и раскроем скобки:

$2v^2 = 2u^2 + 9(v^2 - 2uv + u^2)$

$2v^2 = 2u^2 + 9v^2 - 18uv + 9u^2$

Приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\text{u}$:

$11u^2 - 18uv + 7v^2 = 0$

Решим это уравнение относительно $\text{u}$, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$u = \frac{18v \pm \sqrt{(-18v)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (7v^2)}}{2 \cdot 11} = \frac{18v \pm \sqrt{324v^2 - 308v^2}}{22} = \frac{18v \pm \sqrt{16v^2}}{22} = \frac{18v \pm 4v}{22}$

Получаем два возможных решения:

1) $u = \frac{18v + 4v}{22} = \frac{22v}{22} = v$

2) $u = \frac{18v - 4v}{22} = \frac{14v}{22} = \frac{7}{11}v$

Первое решение ($u=v$) соответствует случаю, когда столкновение не происходит (скорость не меняется). Физический смысл имеет второе решение, которое описывает скорость большого шара после столкновения.

Ответ: $u = \frac{7}{11}v$