Номер 301, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 301, страница 44.

Условие.

301. [861] Чему равно изменение потенциальной энергии метеорита массой 3 кг при его падении на Землю с расстояния от центра Земли, равного трём радиусам Земли?

Решение.

Дано:

$m = 3$ кг

$r_1 = 3R_З$

$r_2 = R_З$

Справочные данные:

Масса Земли $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24}$ кг

Радиус Земли $R_З \approx 6400$ км

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\Delta E_p$ - ?

Решение:

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли определяется формулой:

$E_p = -G \frac{M_З m}{r}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до тела.

Изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ равно разности между конечной и начальной потенциальной энергией:

$\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

Начальная потенциальная энергия метеорита на расстоянии $r_1 = 3R_З$ от центра Земли:

$E_{p1} = -G \frac{M_З m}{r_1} = -G \frac{M_З m}{3R_З}$

Конечная потенциальная энергия метеорита при падении на поверхность Земли, то есть на расстоянии $r_2 = R_З$ от центра:

$E_{p2} = -G \frac{M_З m}{r_2} = -G \frac{M_З m}{R_З}$

Теперь найдем изменение потенциальной энергии:

$\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = \left(-G \frac{M_З m}{R_З}\right) - \left(-G \frac{M_З m}{3R_З}\right) = -G \frac{M_З m}{R_З} + \frac{1}{3}G \frac{M_З m}{R_З}$

$\Delta E_p = G \frac{M_З m}{R_З} \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3} G \frac{M_З m}{R_З}$

Для упрощения расчетов воспользуемся тем, что ускорение свободного падения у поверхности Земли $\text{g}$ связано с массой и радиусом Земли соотношением $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$.

Подставим это выражение в формулу для изменения потенциальной энергии:

$\Delta E_p = -\frac{2}{3} \frac{(g R_З^2) m}{R_З} = -\frac{2}{3} m g R_З$

Подставим числовые значения:

$\Delta E_p = -\frac{2}{3} \cdot 3 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$\Delta E_p = -2 \cdot 9.8 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ Дж} = -19.6 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ Дж} = -125.44 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

$\Delta E_p \approx -1.25 \cdot 10^8$ Дж

Потенциальная энергия уменьшилась, так как метеорит приблизился к Земле, что отражается в отрицательном знаке изменения.

Ответ: изменение потенциальной энергии метеорита равно $-125.44 \cdot 10^6$ Дж (или $-125.44$ МДж).