Номер 308, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 308, страница 44.

Условие.

308. [868] Какую ошибку мы допускаем, используя формулу $\Delta E_p = mgh$ для определения изменения потенциальной энергии при подъёме тела на высоту $h = 100 \text{ км}$ от поверхности Земли?

Решение.

Основная ошибка, которую мы допускаем, используя формулу $\Delta E_p = mgh$ для подъема на высоту $h = 100$ км, заключается в предположении, что ускорение свободного падения $\text{g}$ является постоянной величиной. Эта формула справедлива только для малых высот, где гравитационное поле Земли можно считать однородным.

В действительности ускорение свободного падения уменьшается с увеличением расстояния от центра Земли. Его зависимость от высоты $\text{h}$ над поверхностью описывается формулой:

$g(h) = G\frac{M}{(R+h)^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, а $\text{R}$ — радиус Земли. Поскольку высота $h = 100$ км не является пренебрежимо малой по сравнению с радиусом Земли ($R \approx 6400$ км), значение $\text{g}$ заметно уменьшится. Использование постоянного значения $\text{g}$, равного ускорению на поверхности Земли ($g_0$), приводит к завышенной оценке изменения потенциальной энергии, так как мы предполагаем, что на тело на всей траектории действует максимальная сила тяжести.

Чтобы оценить величину этой ошибки, проведем количественный анализ.

Дано:

$h = 100 \text{ км}$

$R \approx 6400 \text{ км}$ (средний радиус Земли)

Перевод в систему СИ:
$h = 100 \cdot 10^3 \text{ м} = 10^5 \text{ м}$
$R \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Относительную ошибку $\delta$

Решение:

1. Изменение потенциальной энергии по приближенной формуле:

Принимая $\text{g}$ постоянным и равным значению на поверхности Земли $g_0$, получаем:

$\Delta E_{p, \text{прибл.}} = m g_0 h$

2. Изменение потенциальной энергии по точной формуле:

Потенциальная энергия тела массой $\text{m}$ в гравитационном поле Земли на расстоянии $\text{r}$ от её центра равна $E_p(r) = -G\frac{Mm}{r}$. Изменение потенциальной энергии при подъеме с поверхности ($r_1=R$) на высоту $\text{h}$ ($r_2=R+h$) составляет:

$\Delta E_{p, \text{точно}} = E_p(R+h) - E_p(R) = -G\frac{Mm}{R+h} - (-G\frac{Mm}{R}) = GMm(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h})$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\Delta E_{p, \text{точно}} = GMm\frac{R+h-R}{R(R+h)} = \frac{GMmh}{R(R+h)}$

Учитывая, что $g_0 = \frac{GM}{R^2}$, выразим $GM = g_0R^2$ и подставим в формулу:

$\Delta E_{p, \text{точно}} = \frac{g_0R^2mh}{R(R+h)} = \frac{mg_0Rh}{R+h}$

3. Расчет относительной ошибки:

Относительная ошибка — это отношение абсолютной ошибки к точному значению:

$\delta = \frac{\Delta E_{p, \text{прибл.}} - \Delta E_{p, \text{точно}}}{\Delta E_{p, \text{точно}}} = \frac{mg_0h - \frac{mg_0Rh}{R+h}}{\frac{mg_0Rh}{R+h}}$

Сократив на $mg_0h$, получим:

$\delta = \frac{1 - \frac{R}{R+h}}{\frac{R}{R+h}} = \frac{\frac{R+h-R}{R+h}}{\frac{R}{R+h}} = \frac{\frac{h}{R+h}}{\frac{R}{R+h}} = \frac{h}{R}$

Подставим числовые значения:

$\delta = \frac{100 \text{ км}}{6400 \text{ км}} = \frac{1}{64} \approx 0.015625$

В процентах ошибка составляет $0.015625 \cdot 100\% \approx 1.56\%$.

Ответ: Ошибка заключается в том, что формула $\Delta E_p = mgh$ предполагает постоянство ускорения свободного падения $\text{g}$, в то время как на высоте 100 км оно уменьшается. Это приводит к завышению результата. Относительная ошибка расчета составляет $\delta = h/R \approx 1.56\%$.