Номер 313, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 313, страница 46.

Условие.

313. H Человек держит на лёгком стержне диск массой $m = 4 \text{ кг}$ и радиусом $R = 20 \text{ см}$, вращающийся с угловой скоростью $\omega = 2 \text{ рад/с}$. Чему равен средний момент силы, подействовавшей на стержень при повороте его на прямой угол за $\Delta t = 2 \text{ с}$ (рис. 67)?

Решение.

Дано:

Масса диска, $m = 4$ кг

Радиус диска, $R = 20$ см

Угловая скорость вращения диска, $\omega = 2$ рад/с

Угол поворота стержня, $\Delta\phi = 90^\circ$ (прямой угол)

Время поворота, $\Delta t = 2$ с

Перевод в систему СИ:
$R = 0.2$ м
$\Delta\phi = \pi/2$ рад

Найти:

Средний момент силы, $M_{ср}$

Решение:

Это явление известно как гироскопический эффект. Средний момент силы $\vec{M}_{ср}$ связан с изменением момента импульса (углового момента) $\Delta\vec{L}$ за промежуток времени $\Delta t$ следующим соотношением, которое является вторым законом Ньютона для вращательного движения в импульсной форме:

$\vec{M}_{ср} = \frac{\Delta\vec{L}}{\Delta t}$

Момент импульса диска, вращающегося вокруг своей оси, определяется по формуле:

$L = I \cdot \omega$

где $\text{I}$ – момент инерции диска относительно оси вращения. Для сплошного однородного диска момент инерции относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, равен:

$I = \frac{1}{2}mR^2$

Вычислим момент инерции диска:

$I = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ кг} \cdot (0.2 \text{ м})^2 = 2 \text{ кг} \cdot 0.04 \text{ м}^2 = 0.08$ кг·м²

Теперь найдем модуль момента импульса диска:

$L = I \cdot \omega = 0.08 \text{ кг·м²} \cdot 2 \text{ рад/с} = 0.16$ кг·м²/с

Вектор момента импульса $\vec{L}$ направлен вдоль оси вращения (вдоль стержня). Когда человек поворачивает стержень на прямой угол $\Delta\phi = 90^\circ$, направление вектора момента импульса также изменяется на $90^\circ$. При этом модуль момента импульса остается неизменным: $|\vec{L_{начальный}}| = |\vec{L_{конечный}}| = L$.

Изменение момента импульса $\Delta\vec{L}$ является векторной разностью конечного и начального моментов импульса: $\Delta\vec{L} = \vec{L_{конечный}} - \vec{L_{начальный}}$.

Так как векторы $\vec{L_{начальный}}$ и $\vec{L_{конечный}}$ перпендикулярны друг другу, модуль их разности можно найти по теореме Пифагора:

$|\Delta\vec{L}| = \sqrt{L_{конечный}^2 + L_{начальный}^2} = \sqrt{L^2 + L^2} = \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2}$

Подставим численное значение $\text{L}$:

$|\Delta\vec{L}| = 0.16 \cdot \sqrt{2}$ кг·м²/с

Наконец, вычислим модуль среднего момента силы, который вызвал это изменение момента импульса:

$M_{ср} = \frac{|\Delta\vec{L}|}{\Delta t} = \frac{0.16\sqrt{2} \text{ кг·м²/с}}{2 \text{ с}} = 0.08\sqrt{2}$ Н·м

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$M_{ср} \approx 0.08 \cdot 1.414 \approx 0.113$ Н·м

Ответ: средний момент силы равен $0.08\sqrt{2}$ Н·м, что приблизительно составляет $0.11$ Н·м.