Номер 319, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 319, страница 46.

Условие.

319. H Горизонтальный диск массой 600 г и радиусом 10 см вращается со скоростью 4 рад/с относительно вертикальной оси, проходящей через центр диска. С какой силой к краю диска прижали брусок, если диск остановился, сделав 4 полных оборота. Коэффициент трения между диском и бруском равен 0,01.

Решение.

Дано:

Масса диска, $m = 600$ г
Радиус диска, $R = 10$ см
Начальная угловая скорость, $\omega_0 = 4$ рад/с
Количество оборотов до остановки, $N = 4$
Коэффициент трения, $\mu = 0,01$
Конечная угловая скорость, $\omega = 0$ рад/с

Перевод в систему СИ:
$m = 600 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,6$ кг
$R = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,1$ м
Угол поворота до остановки, $\phi = N \cdot 2\pi = 4 \cdot 2\pi = 8\pi$ рад

Найти:

Сила, с которой прижали брусок, $F_N$ — ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии, а именно теоремой об изменении кинетической энергии для вращательного движения. Согласно этой теореме, работа внешних сил равна изменению кинетической энергии тела.

$A = \Delta E_k = E_k - E_{k0}$

Начальная кинетическая энергия вращающегося диска:

$E_{k0} = \frac{1}{2} I \omega_0^2$

где $\text{I}$ — момент инерции диска, $\omega_0$ — начальная угловая скорость.

Конечная кинетическая энергия диска равна нулю, так как он остановился ($\omega = 0$):

$E_k = 0$

Момент инерции сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска, вычисляется по формуле:

$I = \frac{1}{2} m R^2$

Работа совершается силой трения, которая создает тормозящий момент. Сила, с которой брусок прижимают к диску, является силой нормального давления $F_N$. Сила трения скольжения равна:

$F_{тр} = \mu F_N$

Эта сила приложена к краю диска на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения, создавая тормозящий момент:

$M = F_{тр} \cdot R = \mu F_N R$

Работа, совершаемая моментом силы трения при повороте диска на угол $\phi$, отрицательна, так как момент направлен против вращения:

$A = -M \phi = -\mu F_N R \phi$

Приравняем работу к изменению кинетической энергии:

$-\mu F_N R \phi = 0 - \frac{1}{2} I \omega_0^2$

$\mu F_N R \phi = \frac{1}{2} I \omega_0^2$

Подставим в это уравнение выражение для момента инерции $\text{I}$:

$\mu F_N R \phi = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m R^2) \omega_0^2 = \frac{1}{4} m R^2 \omega_0^2$

Выразим искомую силу $F_N$:

$F_N = \frac{m R^2 \omega_0^2}{4 \mu R \phi} = \frac{m R \omega_0^2}{4 \mu \phi}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$F_N = \frac{0,6 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м} \cdot (4 \text{ рад/с})^2}{4 \cdot 0,01 \cdot 8\pi \text{ рад}} = \frac{0,6 \cdot 0,1 \cdot 16}{0,04 \cdot 8\pi} = \frac{0,96}{0,32\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Н}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$F_N \approx \frac{3}{3,14} \approx 0,955 \text{ Н}$

Ответ: сила, с которой прижали брусок, равна $\frac{3}{\pi}$ Н, что приблизительно составляет 0,955 Н.