Номер 323, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 323, страница 47.

Условие.

323 H. Мальчик массой 30 кг, сидя на неподвижной карусели, которая может вращаться вокруг вертикальной оси, ловит мяч массой 1 кг, летящий со скоростью 10 м/с, направленной по касательной к окружности радиусом 4 м, по которой может двигаться мальчик. Момент инерции карусели равен $220 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2$. Определите угловую скорость вращения карусели после того, как мальчик поймает мяч.

Решение.

Дано

Масса мальчика: $m_1 = 30$ кг

Масса мяча: $m_2 = 1$ кг

Скорость мяча: $v = 10$ м/с

Радиус, на котором сидит мальчик: $R = 4$ м

Момент инерции карусели: $I_к = 220$ кг·м²

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Угловую скорость вращения карусели после того, как мальчик поймает мяч: $\omega$

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из карусели, мальчика и мяча. Внешние силы (сила тяжести, сила реакции опоры) создают моменты, которые скомпенсированы или направлены вдоль оси вращения, поэтому их суммарный момент относительно оси вращения равен нулю. Следовательно, для данной системы можно применить закон сохранения момента импульса.

Момент импульса системы до взаимодействия (до того, как мальчик поймал мяч) равен моменту импульса летящего мяча, так как карусель и мальчик находились в состоянии покоя.

Начальный момент импульса системы: $L_{нач} = L_{мяча}$.

Момент импульса мяча, движущегося по касательной к окружности, рассчитывается по формуле $L = R \cdot p$, где $\text{p}$ - импульс мяча ($p = m_2 v$).

$L_{нач} = R \cdot m_2 \cdot v$

После того как мальчик поймал мяч, система (карусель + мальчик + мяч) стала вращаться как единое целое с некоторой угловой скоростью $\omega$.

Конечный момент импульса системы равен произведению суммарного момента инерции системы на угловую скорость:

$L_{кон} = I_{общ} \cdot \omega$

Суммарный момент инерции системы складывается из момента инерции карусели $I_к$ и моментов инерции мальчика и мяча, которых можно считать материальными точками, находящимися на расстоянии $\text{R}$ от оси вращения.

$I_{общ} = I_к + I_{мальчика} + I_{мяча}$

$I_{общ} = I_к + m_1 R^2 + m_2 R^2 = I_к + (m_1 + m_2)R^2$

Согласно закону сохранения момента импульса:

$L_{нач} = L_{кон}$

$R m_2 v = (I_к + (m_1 + m_2)R^2) \cdot \omega$

Выразим отсюда искомую угловую скорость $\omega$:

$\omega = \frac{R m_2 v}{I_к + (m_1 + m_2)R^2}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\omega = \frac{4 \text{ м} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{220 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 + (30 \text{ кг} + 1 \text{ кг}) \cdot (4 \text{ м})^2}$

$\omega = \frac{40}{220 + 31 \cdot 16} = \frac{40}{220 + 496} = \frac{40}{716}$ рад/с

$\omega \approx 0.05586$ рад/с

Округлим до трех значащих цифр:

$\omega \approx 0.0559$ рад/с

Ответ: угловая скорость вращения карусели равна приблизительно $0.0559$ рад/с.