Номер 325, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Статика. Равновесие абсолютно твёрдых тел. Равновесие тел. Первое и второе условия равновесия твёрдого тела - номер 325, страница 47.

Условие.

325. [259] При каком минимальном коэффициенте трения санки не будут скатываться с горки, если угол у её основания равен $30^\circ$?

Решение.

Дано:

Угол наклона горки, $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

Минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$ - ?

Решение:

На санки, находящиеся на наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) и сила трения покоя ($\vec{F}_{тр}$).

Для того чтобы санки не скатывались, они должны находиться в состоянии равновесия. Это означает, что векторная сумма всех действующих на них сил равна нулю.

Введем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

На ось $Ox$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр} = 0$

На ось $Oy$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$

Из второго уравнения выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Из первого уравнения следует, что для удержания санок на склоне сила трения покоя должна уравновешивать скатывающую силу:

$F_{тр} = mg \sin(\alpha)$

Санки останутся в покое, пока сила трения покоя не превышает своего максимального значения, которое определяется как $F_{тр, max} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения.

Условие равновесия: $F_{тр} \le F_{тр, max}$.

$mg \sin(\alpha) \le \mu \cdot N$

Подставим выражение для $\text{N}$:

$mg \sin(\alpha) \le \mu \cdot mg \cos(\alpha)$

Минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$ соответствует предельному случаю, когда санки находятся на грани соскальзывания. В этом случае сила трения покоя достигает своего максимального значения:

$mg \sin(\alpha) = \mu_{min} \cdot mg \cos(\alpha)$

Сократим $mg$ в обеих частях уравнения (так как $mg \neq 0$):

$\sin(\alpha) = \mu_{min} \cdot \cos(\alpha)$

Отсюда выразим $\mu_{min}$:

$\mu_{min} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$

Подставим заданное значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$\mu_{min} = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577$

Ответ: минимальный коэффициент трения, при котором санки не будут скатываться с горки, равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, что приблизительно составляет 0,58.