Номер 322, страница 47, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 322, страница 47.

Условие.

322. H Ребёнок раскачивается, сидя на качелях. Определите энергию, которую он затратил, поднявшись на качелях на высоту 1 м. Масса верёвки 6 кг, её длина 3 м. Масса ребёнка с доской, на которой он сидит, 30 кг. Чему будет равна максимальная угловая скорость ребёнка во время его движения? Трением и силой сопротивления можно пренебречь.

Решение.

Дано:

$h = 1$ м

$m_{в} = 6$ кг

$L = 3$ м

$m_{р} = 30$ кг

$g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

$E_{затр}$ - ?

$\omega_{max}$ - ?

Решение:

Определите энергию, которую он затратил, поднявшись на качелях на высоту 1 м.

Энергия, которую затратил ребенок, идет на увеличение потенциальной энергии системы "ребенок с доской + веревка". Изменение потенциальной энергии равно работе, совершенной против силы тяжести.

1. Изменение потенциальной энергии ребенка с доской:

$\Delta E_{р} = m_{р}gh$

2. Веревка является распределенной массой. Ее центр масс находится посередине, на расстоянии $L/2$ от точки подвеса. При подъеме ребенка на высоту $\text{h}$, центр масс веревки поднимется на высоту $h_{в}$.

Высота подъема ребенка связана с углом отклонения $\alpha$ от вертикали соотношением $h = L(1 - \cos\alpha)$.

Высота подъема центра масс веревки: $h_{в} = \frac{L}{2}(1 - \cos\alpha) = \frac{h}{2}$.

Изменение потенциальной энергии веревки:

$\Delta E_{в} = m_{в}gh_{в} = m_{в}g\frac{h}{2}$

3. Общая затраченная энергия равна сумме изменений потенциальных энергий:

$E_{затр} = \Delta E_{р} + \Delta E_{в} = m_{р}gh + m_{в}g\frac{h}{2} = gh(m_{р} + \frac{m_{в}}{2})$

Подставим числовые значения:

$E_{затр} = 9.8 \cdot 1 \cdot (30 + \frac{6}{2}) = 9.8 \cdot (30 + 3) = 9.8 \cdot 33 = 323.4$ Дж.

Ответ: затраченная энергия равна $323.4$ Дж.

Чему будет равна максимальная угловая скорость ребёнка во время его движения?

Максимальная скорость (как линейная, так и угловая) достигается при прохождении качелями нижнего положения (положения равновесия). По закону сохранения энергии, вся потенциальная энергия, накопленная в верхней точке, перейдет в кинетическую энергию в нижней точке (пренебрегая трением).

$E_{потенц. max} = E_{кинет. max}$

Потенциальная энергия в верхней точке равна затраченной энергии $E_{затр} = 323.4$ Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения в нижней точке:

$E_{кинет. max} = \frac{I\omega_{max}^2}{2}$

где $\text{I}$ – момент инерции системы относительно точки подвеса, а $\omega_{max}$ – максимальная угловая скорость.

1. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции ребенка с доской (рассматриваем как материальную точку) и веревки (рассматриваем как стержень, вращающийся вокруг одного из концов).

$I = I_{р} + I_{в}$

$I_{р} = m_{р}L^2$

$I_{в} = \frac{1}{3}m_{в}L^2$

$I = m_{р}L^2 + \frac{1}{3}m_{в}L^2 = (m_{р} + \frac{m_{в}}{3})L^2$

Подставим числовые значения:

$I = (30 + \frac{6}{3}) \cdot 3^2 = (30 + 2) \cdot 9 = 32 \cdot 9 = 288$ кг·м².

2. Теперь найдем максимальную угловую скорость из закона сохранения энергии:

$E_{затр} = \frac{I\omega_{max}^2}{2}$

$\omega_{max} = \sqrt{\frac{2E_{затр}}{I}}$

Подставим числовые значения:

$\omega_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 323.4}{288}} = \sqrt{\frac{646.8}{288}} = \sqrt{2.2458(3)} \approx 1.5$ рад/с.

Ответ: максимальная угловая скорость равна примерно $1.5$ рад/с.