Номер 315, страница 46, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 315, страница 46.

Условие.

315. Н Точильный камень радиусом $10 \text{ см}$ и массой $4 \text{ кг}$ вращается, делая $4 \text{ об}/\text{с}$. Определите силу, направленную по касательной к ободу камня и остановившую его вращение за $0,1 \text{ с}$.

Решение.

Дано:

Радиус точильного камня, $R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Масса камня, $m = 4 \text{ кг}$
Частота вращения, $n = 4 \text{ об/с}$
Время остановки, $\Delta t = 0.1 \text{ с}$
Конечная угловая скорость, $\omega_f = 0 \text{ рад/с}$

Найти:

Сила, направленная по касательной, $F - ?$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела, которое связывает момент силы $\text{M}$, момент инерции тела $\text{I}$ и угловое ускорение $\varepsilon$:
$M = I \cdot \varepsilon$

Тормозящая сила $\text{F}$, приложенная по касательной к ободу камня радиусом $\text{R}$, создает момент силы, равный:
$M = F \cdot R$

Приравняв два выражения для момента силы, получим:
$F \cdot R = I \cdot \varepsilon$
Отсюда можем выразить искомую силу:
$F = \frac{I \cdot \varepsilon}{R}$

Будем считать точильный камень сплошным диском. Его момент инерции $\text{I}$ относительно оси вращения, проходящей через центр, вычисляется по формуле:
$I = \frac{1}{2} m R^2$
$I = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ кг} \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 2 \cdot 0.01 = 0.02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$

Начальная угловая скорость $\omega_i$ связана с частотой вращения $\text{n}$ соотношением:
$\omega_i = 2 \pi n$
$\omega_i = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \text{ рад/с}$

Поскольку вращение равнозамедленное до полной остановки ($\omega_f = 0$), модуль углового ускорения $\varepsilon$ можно найти как:
$\varepsilon = \frac{|\Delta \omega|}{\Delta t} = \frac{|\omega_f - \omega_i|}{\Delta t} = \frac{\omega_i}{\Delta t}$
$\varepsilon = \frac{8\pi \text{ рад/с}}{0.1 \text{ с}} = 80\pi \text{ рад/с}^2$

Теперь, зная момент инерции и угловое ускорение, можем вычислить искомую силу $\text{F}$:
$F = \frac{I \cdot \varepsilon}{R} = \frac{0.02 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 80\pi \text{ рад/с}^2}{0.1 \text{ м}} = \frac{1.6\pi}{0.1} \text{ Н} = 16\pi \text{ Н}$

Вычислим числовое значение силы, приняв $\pi \approx 3.14$:
$F \approx 16 \cdot 3.14 = 50.24 \text{ Н}$

Ответ: $F \approx 50.24 \text{ Н}$.