Номер 311, страница 45, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Динамика вращательного движения абсолютно твёрдого тела - номер 311, страница 45.

Условие.

311. H На блок массой $M = 0,5 \text{ кг}$ намотана нить, к концу которой привязан груз массой $m_1 = 1 \text{ кг}$, а к нему привязан груз массой $m_2 = 2 \text{ кг}$ (рис. 65). Грузы движутся вниз, раскручивая нить на блоке. Определите силу натяжения нити, связывающей грузы. Массами и деформациями нитей и трением в оси блока можно пренебречь.

Рис. 64 Рис. 65

Решение.

Дано:

Масса блока, $m = 0.5$ кг

Масса первого груза (верхнего), $m_1 = 1$ кг

Масса второго груза (нижнего), $m_2 = 2$ кг

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Силу натяжения нити, связывающей грузы, $T_2$

Решение:

Для решения задачи применим второй закон Ньютона для поступательного и вращательного движения. Направим координатную ось OY вертикально вниз. Ускорение $\text{a}$ обоих грузов будет направлено по этой оси.

1. Рассмотрим силы, действующие на второй (нижний) груз массой $m_2$. На него действуют сила тяжести $m_2g$ (вниз) и сила натяжения нити $T_2$ (вверх). Второй закон Ньютона в проекции на ось OY запишется так:

$m_2g - T_2 = m_2a$ (1)

2. Рассмотрим силы, действующие на первый (верхний) груз массой $m_1$. На него действуют сила тяжести $m_1g$ (вниз), сила натяжения нижней нити $T_2$ (вниз) и сила натяжения верхней нити $T_1$ (вверх). Второй закон Ньютона для этого груза:

$m_1g + T_2 - T_1 = m_1a$ (2)

3. Рассмотрим вращение блока массой $\text{m}$. Вращение вызывает сила натяжения $T_1$, приложенная к ободу блока. Основное уравнение динамики вращательного движения: $\tau = I\varepsilon$.

Здесь $\tau = T_1 R$ – вращающий момент ($\text{R}$ – радиус блока), $I = \frac{1}{2}mR^2$ – момент инерции блока (считаем его сплошным диском), $\varepsilon$ – угловое ускорение. Поскольку нить не проскальзывает, линейное ускорение грузов связано с угловым ускорением блока соотношением $a = \varepsilon R$, откуда $\varepsilon = \frac{a}{R}$.

Подставим все в уравнение вращательного движения:

$T_1 R = \left(\frac{1}{2}mR^2\right) \left(\frac{a}{R}\right)$

Сократив $\text{R}$, получим выражение для $T_1$:

$T_1 = \frac{ma}{2}$ (3)

4. Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными: $a, T_1, T_2$. Чтобы найти $T_2$, сначала определим ускорение системы $\text{a}$. Для этого подставим $T_1$ из (3) и $T_2$ из (1) в уравнение (2).

Из уравнения (1) выразим $T_2$: $T_2 = m_2(g - a)$.

Подставляем в уравнение (2):

$m_1g + m_2(g - a) - \frac{ma}{2} = m_1a$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $\text{a}$:

$m_1g + m_2g = m_1a + m_2a + \frac{ma}{2}$

$(m_1 + m_2)g = a\left(m_1 + m_2 + \frac{m}{2}\right)$

Отсюда получаем формулу для ускорения:

$a = \frac{(m_1 + m_2)g}{m_1 + m_2 + \frac{m}{2}}$

5. Подставим числовые значения и вычислим ускорение:

$a = \frac{(1 \text{ кг} + 2 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ кг} + 2 \text{ кг} + \frac{0.5 \text{ кг}}{2}} = \frac{3 \cdot 9.8}{3 + 0.25} = \frac{29.4}{3.25} \approx 9.046 \text{ м/с}^2$

6. Теперь, зная ускорение $\text{a}$, можем найти искомую силу натяжения $T_2$ из уравнения (1):

$T_2 = m_2(g - a)$

$T_2 = 2 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 - 9.046 \text{ м/с}^2) = 2 \cdot 0.754 \text{ Н} \approx 1.508 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения нити, связывающей грузы, $T_2 \approx 1.51$ Н.