Номер 305, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 305, страница 44.

Условие.

305. [865] В каких пределах может изменяться скорость спутников Земли?

Решение.

Скорость спутника Земли зависит от высоты его орбиты и ее формы (круговая или эллиптическая). Чтобы тело стало спутником и не упало на Землю, его скорость должна быть не меньше первой космической скорости. Чтобы спутник не покинул гравитационное поле Земли, его скорость должна быть меньше второй космической скорости. Таким образом, скорость спутников Земли ограничена этими двумя значениями.

Дано:
Средний радиус Земли, $R_З \approx 6400 \text{ км}$
Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:
Пределы изменения скорости спутников Земли ($v_{min}, v_{max}$).

Решение:
Нижний предел скорости спутника определяется первой космической скоростью ($v_1$). Это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на данной высоте, чтобы оно двигалось по круговой орбите вокруг Земли. Для орбит, близких к поверхности Земли, сила тяготения сообщает телу центростремительное ускорение:
$m \frac{v_1^2}{R_З} = G \frac{M_З m}{R_З^2}$
Отсюда $v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}$.
Учитывая, что ускорение свободного падения у поверхности $g = \frac{G M_З}{R_З^2}$, формулу можно переписать как:
$v_1 = \sqrt{g R_З}$
Рассчитаем ее значение:
$v_1 = \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 6.4 \times 10^6 \text{ м}} = \sqrt{62.72 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 7920 \text{ м/с} \approx 7.9 \text{ км/с}$.
Это минимальная скорость для запуска спутника на низкую околоземную орбиту. С увеличением высоты орбиты круговая скорость уменьшается.

Верхний предел скорости определяется второй космической скоростью ($v_2$), или скоростью убегания. Это наименьшая скорость, при которой тело, запущенное с поверхности, преодолевает гравитационное притяжение Земли и уходит на бесконечность, двигаясь по параболической траектории. Если скорость спутника достигнет или превысит $v_2$, он перестанет быть спутником Земли. Вторая космическая скорость связана с первой соотношением:
$v_2 = \sqrt{\frac{2 G M_З}{R_З}} = v_1 \sqrt{2}$
Рассчитаем ее значение:
$v_2 \approx 7.9 \text{ км/с} \cdot \sqrt{2} \approx 7.9 \text{ км/с} \cdot 1.414 \approx 11.2 \text{ км/с}$.

Таким образом, чтобы тело оставалось на замкнутой орбите вокруг Земли (круговой или эллиптической), его скорость $\text{v}$ должна удовлетворять условию $v_1 \le v < v_2$ для данной высоты. Указанные значения являются пределами для низких околоземных орбит. Скорость спутника на эллиптической орбите изменяется: она максимальна в перигее (ближайшая к Земле точка) и минимальна в апогее (самая дальняя точка), но в любой точке орбиты она будет находиться в диапазоне между круговой и параболической скоростями для данной высоты.

Ответ: Скорость спутников Земли может изменяться в пределах от первой космической скорости ($v \approx 7.9 \text{ км/с}$) до второй космической скорости ($v \approx 11.2 \text{ км/с}$). Таким образом, диапазон скоростей $\text{v}$ для спутника на околоземной орбите составляет примерно $[7.9 \text{ км/с}; 11.2 \text{ км/с})$.