Номер 304, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Работа силы тяготения. Потенциальная энергия в поле тяготения - номер 304, страница 44.

Условие.

304. [864] От ракеты, движущейся вверх со скоростью $1.8 \cdot 10^3 \text{ м/с}$, на расстоянии 1600 км от поверхности Земли отделяется ступень, которая затем падает на Землю. Определите скорость этой ступени в момент падения на Землю. Сопротивлением воздуха пренебрегите.

Решение.

Дано:

Начальная скорость ступени: $v_1 = 1.8 \cdot 10^3$ м/с
Высота отделения от поверхности Земли: $h = 1600$ км
Радиус Земли (справочно): $R_E \approx 6400$ км
Ускорение свободного падения у поверхности Земли (справочно): $g \approx 9.8$ м/с²

$h = 1600 \text{ км} = 1600 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.6 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_E \approx 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v_2$ — скорость ступени в момент падения на Землю.

Решение:

Поскольку по условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь, для системы "ступень–Земля" выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ состоит из кинетической энергии $\text{K}$ и потенциальной энергии $\text{U}$ в гравитационном поле Земли.

Запишем закон сохранения энергии для двух состояний системы:

1. Начальное состояние: момент отделения ступени на высоте $\text{h}$ от поверхности Земли. Скорость ступени равна $v_1$. Расстояние до центра Земли $r_1 = R_E + h$.
2. Конечное состояние: момент падения ступени на поверхность Земли ($h=0$). Скорость ступени равна $v_2$. Расстояние до центра Земли $r_2 = R_E$.

Энергия в начальном состоянии: $E_1 = K_1 + U_1 = \frac{m v_1^2}{2} - G \frac{M_E m}{R_E + h}$

Энергия в конечном состоянии: $E_2 = K_2 + U_2 = \frac{m v_2^2}{2} - G \frac{M_E m}{R_E}$

где $\text{m}$ – масса ступени, $M_E$ – масса Земли, $R_E$ – радиус Земли, $\text{G}$ – гравитационная постоянная.

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$\frac{m v_1^2}{2} - G \frac{M_E m}{R_E + h} = \frac{m v_2^2}{2} - G \frac{M_E m}{R_E}$

Масса ступени $\text{m}$ сокращается:

$\frac{v_1^2}{2} - G \frac{M_E}{R_E + h} = \frac{v_2^2}{2} - G \frac{M_E}{R_E}$

Выразим отсюда $v_2^2$:

$\frac{v_2^2}{2} = \frac{v_1^2}{2} + G \frac{M_E}{R_E} - G \frac{M_E}{R_E + h}$

$v_2^2 = v_1^2 + 2 G M_E \left(\frac{1}{R_E} - \frac{1}{R_E + h}\right) = v_1^2 + 2 G M_E \frac{R_E + h - R_E}{R_E(R_E + h)} = v_1^2 + \frac{2 G M_E h}{R_E(R_E + h)}$

Учитывая, что ускорение свободного падения у поверхности Земли $g = \frac{G M_E}{R_E^2}$, произведение $G M_E$ можно выразить как $g R_E^2$. Подставим это в формулу:

$v_2^2 = v_1^2 + \frac{2 g R_E^2 h}{R_E(R_E + h)} = v_1^2 + \frac{2 g R_E h}{R_E + h}$

Итоговая формула для скорости $v_2$:

$v_2 = \sqrt{v_1^2 + \frac{2 g R_E h}{R_E + h}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v_2 = \sqrt{(1.8 \cdot 10^3)^2 + \frac{2 \cdot 9.8 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 1.6 \cdot 10^6}{6.4 \cdot 10^6 + 1.6 \cdot 10^6}}$

$v_2 = \sqrt{3.24 \cdot 10^6 + \frac{200.704 \cdot 10^{12}}{8.0 \cdot 10^6}} = \sqrt{3.24 \cdot 10^6 + 25.088 \cdot 10^6}$

$v_2 = \sqrt{28.328 \cdot 10^6} \approx 5322.4$ м/с

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных):

$v_2 \approx 5.3 \cdot 10^3$ м/с.

Ответ: скорость ступени в момент падения на Землю составит примерно $5.3 \cdot 10^3$ м/с или $5.3$ км/с.