Номер 297, страница 44, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 10 класс. Механика. Законы сохранения в механике. Закон сохранения энергии. Закон сохранения механической энергии. Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения - номер 297, страница 44.

Условие.

297. [883] Два упругих шарика одинаковой массы налетают друг на друга со скоростями $v_1$ и $v_2$ под углом $\alpha$ и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями $u_1$ и $u_2$ под углом $\beta$. Определите угол $\beta$.

Решение.

Решение

Рассмотрим систему из двух упругих шариков одинаковой массы $\text{m}$. При абсолютно упругом ударе для этой системы выполняются два фундаментальных закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Закон сохранения импульса. Суммарный импульс системы до столкновения равен суммарному импульсу системы после столкновения. В векторной форме:

$m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = m\vec{u}_1 + m\vec{u}_2$

Поскольку массы шариков одинаковы и не равны нулю, мы можем сократить массу $\text{m}$:

$\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2$

где $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — скорости шариков до удара, а $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$ — скорости после удара.

2. Закон сохранения кинетической энергии. Суммарная кинетическая энергия системы до столкновения равна суммарной кинетической энергии после столкновения.

$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mu_1^2 + \frac{1}{2}mu_2^2$

Сократив $\frac{1}{2}m$, получим:

$v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2$

где $v_1, v_2, u_1, u_2$ — модули соответствующих векторов скоростей.

Теперь воспользуемся этими двумя законами для нахождения связи между углами. Возведём векторное уравнение закона сохранения импульса в квадрат (скалярное произведение вектора на самого себя):

$(\vec{v}_1 + \vec{v}_2)^2 = (\vec{u}_1 + \vec{u}_2)^2$

$\vec{v}_1^2 + \vec{v}_2^2 + 2\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = \vec{u}_1^2 + \vec{u}_2^2 + 2\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2$

$v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2\cos\alpha = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1u_2\cos\beta$

Здесь $\alpha$ — угол между векторами $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, а $\beta$ — угол между векторами $\vec{u}_1$ и $\vec{u}_2$.

Теперь подставим в это уравнение выражение из закона сохранения энергии ($v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2$). Левые и правые части, содержащие квадраты скоростей, оказываются равными и взаимно уничтожаются:

$(u_1^2 + u_2^2) + 2v_1v_2\cos\alpha = u_1^2 + u_2^2 + 2u_1u_2\cos\beta$

$2v_1v_2\cos\alpha = 2u_1u_2\cos\beta$

$v_1v_2\cos\alpha = u_1u_2\cos\beta$

Это соотношение показывает, что в общем случае угол $\beta$ зависит не только от начальных условий ($\alpha, v_1, v_2$), но и от конечных скоростей ($u_1, u_2$), которые, в свою очередь, зависят от параметра удара (точки соприкосновения шариков). Таким образом, задача в общей постановке не имеет однозначного решения.

Однако для упругого столкновения двух тел одинаковой массы существует одно простое частное решение, которое всегда возможно: обмен скоростями. Рассмотрим случай, когда шарики обмениваются своими векторами скоростей в результате столкновения:

$\vec{u}_1 = \vec{v}_2$ и $\vec{u}_2 = \vec{v}_1$

Проверим, удовлетворяет ли такое решение законам сохранения:

1. Закон сохранения импульса: $\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{u}_1 + \vec{u}_2 = \vec{v}_2 + \vec{v}_1$. Закон выполнен.

2. Закон сохранения энергии: $v_1^2 + v_2^2 = u_1^2 + u_2^2 = v_2^2 + v_1^2$. Закон выполнен.

Поскольку такое решение физически возможно и удовлетворяет всем условиям, а задача требует определить угол $\beta$ однозначно, можно предположить, что имеется в виду именно этот исход столкновения. При таком исходе конечные скорости шариков — это $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_1$. Угол между ними, очевидно, такой же, как и угол между начальными скоростями $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Следовательно, $\beta = \alpha$.

Ответ: $\beta = \alpha$.